2011年4月10日日曜日

第3講4節 円と円の関係(2円の交点を通る直線と円)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】2つの円、
(円1) (x-3)+(y-2)=3 (式1)
(円2) (x-1)+(y-1)=4 (式2)
がある。この2つの円の2つの交点AとBを通る(直線3)と、座標原点(0,0)を通る(円4)との式を求めよ。

この問題の円の(式1)と(式2)の連立方程式の解が交点AとBの座標になる。

この連立方程式と同じ解の交点AとBの座標を与える別の連立方程式(一方は直線の式で、もう一方は円の式)を求める問題です。

(解答と解説)
この問題は、式1と式2の解を、別の方程式を使って求める問題です。
その解を与える以下の形の連立方程式を作る問題です。
(直線3) ax+by=c (式3)
(円4) x+y+dx+ey=f (式4)
ただし、式4は座標原点(x,y)=(0,0)を通るので、それを代入して、
0+0+0+0=f の式を満足しなければならない。
そのため、f=0である。よって、式4は以下の式になる。
(円4) x+y+dx+ey=0 (式5)

よって、求める連立方程式は、以下の形の式です。
(直線3) ax+by=c (式3)
(円4) x+y+dx+ey=0 (式5)

(計算方針)
m(式1)+n(式2)を計算することで、直線3の式を求め、同様にして円4の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にmを掛け算してm倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
(円1) (x-3)+(y-2)-3=0 (式1’)
-6x+9+y-4y+4-3=0
+y-6x-4y+10=0 (式6)

(円2) (x-1)+(y-1)-4=0 (式2’)
-2x+1+y-2y+1-4=0
+y-2x-2y-2=0 (式7)

(直線3の式の計算)
先ず、m(式6)+n(式7)を計算することで、直線3の式を求める。
m(x+y-6x-4y+10)
+n(x+y-2x-2y-2)=0 (式8)
この式8を、式3と等しくなるように、mとnの値を決める。
式8と式3を比較し易いように、式8を変形する。
(m+n)x+(m+n)y
+(-6m-2n)x+(-4m-2n)y+(10m-2n)
=0 (式9)
一方の直線の式3には、xの項やyの項が無いので、上の式もそれらの項の係数が0でなければならない。

(詳しくは、以下のように考える)
式9が式3と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
         <式9> <式3>
の係数: (m+n)  =0 (式10)
の係数: (m+n)  =0 (式10と同じ)
xの係数: (-6m-2n)=a
yの係数: (-4m-2n)=b
定数項の係数: (10m-2n)=-c

式10以外の式は未知数a,b,cを定める式であって、mとnを限定する式ではないので、mとnを限定するのは式10のみ。


よって、
m+n=0 (式10)
この式10の条件を満たすmとnのどの組合せでも良い。
とりあえず、m=1、n=-1に決める。
その場合は、式9は、以下の式になる。
(-6+2)x+(-4+2)y+(10+2)=0
-4x-2y+12=0
(-2)で式全体を割り算する。
2x+y-6=0 (式11)
この式11が求める式3の形(を変形した形)の具体的式である。

(注意)この式は、式6と式7を加えて得た式9であるので、式1と式2の円の2つの交点AとBを通る。

(円4の式の計算)
(m+n)x+(m+n)y
+(-6m-2n)x+(-4m-2n)y+(10m-2n)
=0 (式9)

以下の計算では、式9のmとnを、円4を求めるために定め、先に直線3を求めるときに定めた値とは別の値のmとnを定める。

円4の式5は以下の式である。
(円4) x+y+dx+ey=0 (式5)
式9が式5と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
の係数: (m+n)=1 (式12)
の係数: (m+n)=1 (式13)
xの係数: (-6m-2n)=d (式14)
yの係数: (-4m-2n)=e (式15)
定数項の係数: (10m-2n)=0 (式16)

式14と式15は未知数dとeを定める式なので、mとnを限定する式では無いので無視して良い。
それ以外の式は、式12(式13と同じ)と式16だけである。
(m+n)=1 (式12)
(10m-2n)=0 (式16)
この式12と式16を連立してmとnを定める。

2(式12)+(式16)を計算することでnを消去した式を作る。
2m+10m=2
m=2/12=1/6 (式17)

10(式12)-(式16)を計算することでmを消去した式を作る。
10n+2n=10
n=10/12=5/6 (式18)

式17と式18を式9に代入する。
(m+n)x+(m+n)y
+(-6m-2n)x+(-4m-2n)y+(10m-2n)
=0 (式9)
((1/6)+(5/6))x+((1/6)+(5/6))y
+(-(6/6)-(10/6))x+(-(4/6)-(10/6))y+((10/6)-(10/6))=0
+y-(16/6)x-(14/6)y=0
+y-(8/3)x-(7/3)y=0 (式19)
この式が、求める円4の式5である。

(注意)この式は、式6と式7を加えて得た式9であるので、式1と式2の円の2つの交点AとBを通る。

以上の計算で得た以下の式の連立方程式は(式1)と(式2)の連立方程式を変形して求めたので、元の式1と式2の連立方程式と同じ解を与える。
 (直線3) 2x+y-6=0 (式11)
(円4) x+y-(8/3)x-(7/3)y=0 (式19)
すなわち、上の式の直線3と円4の2つの交点は、円1と円2の交点AとBである。

リンク:
高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿