円と円の関係（２円の交差）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】２つの円
ｘ^２＋ｙ^２－２ａｘ－２ｙ＋１＝０　（式１）
ｘ^２＋ｙ^２－２ｘ－２ａｙ＋１＝０　（式２）
の２つの円が交差する条件をもとめよ。

（予備知識）
受験問題のときは、２円の交差の条件の問題は、２円の２つの交点を通る直線の式を求めた後で、それを図形（図形の位置関係はベクトルで数値化）で考えて、２円の交差の条件を考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、図形（ベクトル）を利用して考えることは、計算の見通しを良くするからです。

（式１）－（式２）を計算する。
－２ａｘ－２ｙ＋１＋２ｘ＋２ａｙ－１＝０
２（１－ａ）（ｘ－ｙ）＝０　（式３）
この直線３と円が交差する条件が、２つの円が交差する条件である。

（図形をより明確に把握するため、円の式を変形する）
式１と式２を変形して、以下の式１’と式２’を得る。
（ｘ－ａ）^２＋（ｙ－１）^２＝ａ^２　（式１’）
（ｘ－１）^２＋（ｙ－ａ）^２＝ａ^２　（式２’）

（想像力を働かせること）
この図形の中心と半径の長さを元に、上のように図形を想像する。
更に、パラメータａが変化するとどうなるかの想像力を働かせて、下図のようなイメージを想像する。

このように、図形を想像して計算の見通しを良くしてから計算する。

上の図から、ａが正のある値以上大きくなると、２円は交差する。逆に、ａが負のある値以下になると、２円が交差することを想像する。

（計算の開始）
上の図で、円１と傾き１の直線３が交差する条件は、円１の中心と傾き１の直線との間の距離が円の半径｜ａ｜以下であることである。
座標原点を通る直線３と円１の中心の間の距離は、直線３に垂直な単位ベクトル（１，－１）／√２と、円１の中心の位置ベクトル（ａ，１）の内積を計算することで求められる。その値は（ａ－１）／√２になる。


【補足】
２つの円が交差する条件は以下の図の様に考えることができる。
　点Ｂを中心とする半径ｃの円と、点Ｃを中心とする半径ｂの円があり、ＢＣ＝ａである。

　この２つの円が交差する条件は、この２つの交点Ａが存在する事である。それは、長さａとｂとｃの辺を持つ三角形ＡＢＣが存在する事である。
　それは、２辺の和が残りの辺の長さ以上である事であり、上の３つの式が成り立つ事である。

ここで、上の３つの式のうち２つを１つの式にまとめて、
以下の２つの式にまとめることもできる。
ａ≧|ｂ−ｃ|，
ｂ＋ｃ≧ａ，
この２つの式のパラメータａ，ｂ，ｃを入れ替えて作った他の２つの式も、条件式として使える。

また、３つのパラメータａ，ｂ，ｃのうちの２つのパラメータの大小関係が予め分かっている場合は、以下の事例の様に、上の３つの条件式の数を２つに減らせる。

（事例１）
ｂ≧ｃ
の場合は、
ａ＋ｃ≧ｂ
ならば、必ず
ａ＋ｂ≧ｃ
になるので、
上の３つの式は：
ａ＋ｃ≧ｂ，　すなわち、　ａ≧ｂ−ｃ，
と、
ｂ＋ｃ≧ａ，
との２つの条件式だけで足りる。

あるいは、
ｃ≧|ａ−ｂ|，
の１つの条件だけで足りる。

（事例２）
ａ≧ｂ
の場合は、事例１と同様にして：
ｃ≧ａ−ｂ，
と、
ａ＋ｂ≧ｃ，
との２つの条件式だけで足りる。

（事例３）
ａ≧ｂ≧ｃ
の場合は、事例１と２を合わせて：
ｂ＋ｃ≧ａ,　または、　ｃ≧ａ−ｂ，　または、　ｂ≧ａ−ｃ，
だけで足りる。

（事例４）
ａ≧ｃ，　かつ、　ｂ≧ｃ，　の場合は：
ｃ≧|ａ−ｂ|， だけで足りる。

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