2011年4月3日日曜日

第3講4節 円と円の関係(2円の交差)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】2つの円
+y-2ax-2y+1=0 (式1)
+y-2x-2ay+1=0 (式2)
の2つの円が交差する条件をもとめよ。

(予備知識)
受験問題のときは、2円の交差の条件の問題は、2円の2つの交点を通る直線の式を求めた後で、それを図形(図形の位置関係はベクトルで数値化)で考えて、2円の交差の条件を考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、図形(ベクトル)を利用して考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(式1)-(式2)を計算する。
-2ax-2y+1+2x+2ay-1=0
2(1-a)(x-y)=0 (式3)
この直線3と円が交差する条件が、2つの円が交差する条件である。

(図形をより明確に把握するため、円の式を変形する)
式1と式2を変形して、以下の式1’と式2’を得る。
(x-a)+(y-1)=a (式1’)
(x-1)+(y-a)=a (式2’)

(想像力を働かせること)
この図形の中心と半径の長さを元に、上のように図形を想像する。
更に、パラメータaが変化するとどうなるかの想像力を働かせて、下図のようなイメージを想像する。

このように、図形を想像して計算の見通しを良くしてから計算する。

上の図から、aが正のある値以上大きくなると、2円は交差する。逆に、aが負のある値以下になると、2円が交差することを想像する。

(計算の開始)
上の図で、円1と傾き1の直線3が交差する条件は、円1の中心と傾き1の直線との間の距離が円の半径|a|以下であることである。
座標原点を通る直線3と円1の中心の間の距離は、直線3に垂直な単位ベクトル(1,-1)/√2と、円1の中心の位置ベクトル(a,1)の内積を計算することで求められる。その値は(a-1)/√2になる。
(1/√2)|a-1|≦|a|
(1/2)(a-1)≦a
(a-1)≦2a
-2a+1≦2a
1≦a+2a
1+1≦(a+1)
2≦(a+1)
a+1≧√2 又は a+1≦-√2
a≧-1+√2 又は a≦-1-√2


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2 件のコメント:

  1. 初めまして 円と円 について 解説を拝見致しました。
           改竄して
    (イ)楕円と楕円;3*x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*y + 1 = 0 と 3*x^2 + y^2 - 2*x - 2*a*y + 1 = 0

    (ロ)楕円と円;3*x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*y + 1=0, x^2 + y^2 - 2*x - 2*a*y + 1=0

           の場合 如何なさいますか?
    ]

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  2. 匿名さん こんばんわ
    Resが遅れてごめんなさい。

    >(イ)楕円と楕円;3*x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*y + 1 = 0 と 3*x^2 + y^2 - 2*x - 2*a*y + 1 = 0

    >(ロ)楕円と円;3*x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*y + 1=0, x^2 + y^2 - 2*x - 2*a*y + 1=0

    >の場合 如何なさいますか?

    コメントをどうもありがとうございます。
    これらの場合について、どうするか、考えてみます。
    しばらく、お待ちください。

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