2011年4月24日日曜日

第4講1節 加法定理の練習問題6

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のように、3つの平行線の上にそれぞれ点A,B,Cをとる正三角形△ABCがあり、点Bを置いた平行線と線分ACの交点をDとする。
図のように平行線の間の距離をそれぞれp,qとし、△ABCの一辺の長さをaとする。
∠ABD=αとし、∠CBD=βとするとき、sin(α)をp,qであらわせ。

【解答の方針】
α+β=π/3 (式1)
であることを利用して、角度α+βのsinかcosかを加法定理で展開する。
そして、
sinα=p/a (式2)
sinβ=q/a (式3)
から、角αとβのcosを計算して、展開式に代入して未知数を消す。
これにより、未知数aのみが式に残るので、先ずaが求められる。
あとは、そのaの値を式2に代入すれば、求めるsinαが得られる。

(解答開始)
式1を利用した以下の加法定理の式を考える。
cos(π/3)=1/2で値が簡単なので、cosの加法定理を使う。
cos(π/3)=cos(α+β)
=cosα・cosβ-sinα・sinβ,
1/2=cosα・cosβ-sinα・sinβ (式4)

(cosαを式2から求める)
(cosβを式3から求める)
式2、3、5、6を式4に代入する。
両辺を二乗する。
両辺の平方根を計算する。

式7を式2に代入する。
(解答おわり)

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