３次方程式が重根を持つ条件

「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【難問】三次の方程式
ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）

（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０　（式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）^２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）^２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
（証明終わり）

そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【解答１】
（１）
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
（２）
３（式１）－（式４）ｘを計算する。
３ｘ^３＋３ａｘ＋３ｂ－（３ｘ^３＋ａｘ）＝０
３ａｘ＋３ｂ－ａｘ＝０
２ａｘ＋３ｂ＝０　（式５）
（３）
ａ≠０の場合は、
ｘ＝－３ｂ／（２ａ）　（式６）
このｘの値が重根である。
（４）
ａ＝０の場合は、
式５より、
ｂ＝０
すなわち、ａ＝ｂ＝０の場合に、式１も式４もｘ＝０を解に持つ。
（５）
式６のｘの値を式４に代入する。
３（－３ｂ／（２ａ））^２＋ａ＝０
（２７／４）（ｂ／ａ）^２＋ａ＝０
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
式７は、ａ＝ｂ＝０の場合も含んでいる。
（６）
式６のｘの値を式１に代入する。
（－３ｂ／（２ａ））^３＋ａ（－３ｂ／（２ａ））＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）^３－（３／２）ｂ＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）^３－（１／２）ｂ＝０ 
－２７（ｂ／ａ）^３－４ｂ＝０
２７（ｂ／ａ）^３＋４ｂ＝０
２７ｂ^３＋４ｂａ^３＝０
ｂ（２７ｂ^２＋４ａ^３）＝０
ｂ＝０
ｏｒ
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
再び式７を得た。
（７）
よって、パラメータａとｂの間に成り立つ関係は、 
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
である。おぼえ易い式に変形すると、
（ｂ／２）^２＋（ａ／３）^３＝０　（式７’） 
これが、式１が重根（３重根も重根の一種として）を持つ条件である。
（解答おわり）

【解答２】 
　式１が重根を持つ場合は、式ｆと、それを微分した式ｆ’≡ｇが共通因数を持つ。
　共通因数を持つ式ｆと式ｇをユークリッドの互除法で余りを計算すると、余りの式は割り切れる結果、余りの定数項が０になる。
そのため、以下のように、ユークリッドの互除法で余りの定数項を計算する。
（１）先ず、ｆ’≡ｇを計算する。

このｆをｇで割り算した余りの式ｈを計算する。

 次にｇをｈで割り算した余りの定数項の式ｋを計算する。
（ただし、ａ≠０とする）

ｆとｇが共通因数ｈを持つので、式ｇはｈで割り切れ、余りの定数項ｋは０になる。
よって、以下の式が成り立つ。

解答１で求めた解の式７と同じ式ａ－５が得られた。
（ａ＝０の場合）
　重根を持つ条件は、ｂ＝０である。
これは、式ａ－５に当てはまっている。
その場合にｘ＝０で３重根を持つ。
（解答おわり）

（コメント）
ここで、３次方程式１の判別式Ｄは、
Ｄ≡－（ｂ／２）^２－（ａ／３）^３
であり、
Ｄ＝０の場合に式１は重根を持ち、
Ｄ＞０の場合に式１は３つの実数根を持つ。

この判別式Ｄは、以下の様にすると思い出し易い。
式１をｙとして、
ｙの微分に－１を掛けた式８を考える。

そして、その式８のｘに、
式１が重根を持つ場合には重根の絶対値をあらわす

を代入して式９を計算する。
その式９：
ｙの微分に－１を掛けた式≧０
が、式１の根が全て実数になる条件式であると覚える
と、判別式Ｄを思い出し易い。

この式９を展開すると以下の式１０になります。

この式１０を以下の様に変形することで判別式Ｄが導き出せます。

 こうして、式１１の判別式Ｄが導き出せた。
（参考）
「３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根」

リンク：
三次方程式の判別式
高校数学の目次

円と放物線の接線（４）

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問１】放物線
ｙ＝２－２ｘ^２　（式１）
とＸ軸で囲まれる範囲（ｘ軸より上の範囲）にある円の半径の最大値を求めよ。

（解答の方針）
この問題で求める円は、式１の放物線とＸ軸とに接する円です。
その円は放物線と同じくＹ軸に関して対称（すなわち、Ｙ軸上に中心がある）と考えられます。

その理由は、
もし、その円の中心がＹ軸上になければ、Ｙ軸に関して全図形を左右に反転すれば、円の中心位置が左右に移動します。

放物線に接する円が左右に移動してしまったら、上図のように、円は放物線に接する位置から離れて、放物線に交わったり放物線から離れてしまったりします。

そのため、Ｙに関して全図形を左右に反転しても円が放物線に左右で接する形であるためには、円の中心はＹ軸上になければなりません。

求める円の中心がＹ軸上にあると考えると問題が大分簡単になります。

次に、考えることは、円と放物線が接する条件を求めることです。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書きます。

（解答）
（１）
放物線の式は
ｙ＝２－２ｘ^２　（式１）
であり、
Ｘ軸の式は
ｙ＝０　（式２）
である。
（２）
式１の放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円は、式１の放物線と左右で接して、円の下がＸ軸に接する円と考えられる。

全図形をＹ軸に関して左右に反転しても、その円は放物線に左右で接する形であるが、
もし、左右に反転すると円の中心が左右に移動すると考えると円が放物線から離れたり放物線に交わったりして、放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円である条件から外れてしまい矛盾する。

よって、全図形を左右に反転しても円の中心は左右に移動しない。すなわち、円の中心はＹ軸上にある。
よって、ｘ軸に接する半径ｒの円の式は以下の式であらわされる。
（ｙ－ｒ）^２＋ｘ^２＝ｒ^２　（式３）
（注意）
半径のつもりで、ｒというパラメータを導入しましたが、ｒというパラメータは、ｘ軸より上の円では正になり、ｘ軸より下の円では負になる。ｘ軸に接する円がｘ軸の上か下かどちら側にあるかをあらわすパラメータであるという意味を持っていることに注意すべき。

（３）
求める円は、式１の放物線と接する円と考えられるので、
先ずは、円と放物線が接し得る接点を全て求める。

（４）
放物線と円の接点をＡ（ａ，ｈ）とする。
式１から、
放物線　ｈ＝２－２ａ^２　　（式４）
式３から、
円　（ｈ－ｒ）^２＋ａ^２＝ｒ^２　（式５）

（５）
式１の放物線の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きは、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｄｙ／ｄｘ＝－４ａ
である。

式３の円の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きｄｙ／ｄｘは：

円の法線ＡＰの傾き（ｈ－ｒ）／ａの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｄｙ／ｄｘ＝－ａ／（ｈ－ｒ）　

この２つの接線の傾きが等しいので、
－４ａ＝－ａ／（ｈ－ｒ）
ａ｛－４＋（１／（ｈ－ｒ））｝＝０　（式６）
この式６（接点の座標の式）を解くと、
ａ＝０　（式７）
ｏｒ
ｈ－ｒ＝１／４
ｈ＝ｒ＋１／４　（式８）

（６）
（式７（ａ＝０）があらわす接点の座標を求める）
式７を放物線の式４に代入する。
ｈ＝２　（式９）
よって、１つの接点（ａ，ｈ）＝（０，２）が得られた。
この接点は式１があらわす放物線の頂点である。
この接点に接する円の半径ｒ＝１である。

（７）
（式８があらわす接点の座標を求める）
そのために、式８と式４と式５を連立して、接点の座標を導く。
（８） 
計算間違いを少なくするために、単純な式を早く作る。
そのために、先ず、式４と式５を整理して、ａを消去して単純な式を得る。
式４から、
ｈ－２＋２ａ^２＝０　（式４’）
式５から、
（ｈ－ｒ）^２＋ａ^２－ｒ^２＝０　（式５’）
２×式５’－式４’を計算してａを消去する。
２（ｈ－ｒ）^２－２ｒ^２－（ｈ－２）＝０
２ｈ^２－４ｈｒ－ｈ＋２＝０ （式９）
式９に代入すべき式８を変形する。
ｒ＝ｈ－（１／４）　（式８’）
式８’を式９に代入してｒを消去する。
２ｈ^２－４ｈ（ｈ－（１／４））－ｈ＋２＝０
２ｈ^２－４ｈ^２＋ｈ－ｈ＋２＝０
－２ｈ^２＋２＝０
ｈ^２－１＝０
（ｈ－１）（ｈ＋１）＝０
ｈ＝１
ｏｒ
ｈ＝－１
ｈ＝－１は、ｘ軸よりも下のｙ座標であるので、接点の座標として不適。
よって、
ｈ＝１　（式１０） 
のみが有効。
式１０を式８’に代入する。
ｒ＝１－（１／４）＝３／４
また、式１０を式４’に代入する。
１－２＋２ａ^２＝０
２ａ^２＝１
ａ^２＝１／２
ａ＝±（√２）／２　（式１１）
よって、半径ｒ＝３／４の円について、
２つの接点（ａ，ｈ）＝Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が得られた。

（９）
以上で得た、円が放物線と接し得る点を全て列挙すると：
（９－１）；
放物線の頂点（０，２）が接点になるとき、円の半径ｒ＝１
である。
（９－２）；
Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が接点になるとき、
円の半径ｒ＝３／４
である。
（１０）
しかし、半径ｒ＝３／４の円において既に放物線に接しているので、
（９－１）の場合の、円の半径が１になって放物線の頂点に円が接する場合には、円は、その他の点で放物線と交差していて、放物線の下には収まりきれていない。

　よって、（９－２）の場合のみが有効な解であり、放物線の下に収まりきれる最大の円の半径は、
ｒ＝３／４
である。
（解答おわり）

リンク：
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接線と放物線の交点

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【問１】放物線
ｙ＝　ｘ^２＋１　（式１）
上の任意の点Ｐにおける接線が、放物線
ｙ＝ｘ^２　（式２）
と交わる点をＱ，Ｒとするとき、次のことが成り立つことを示せ。
Ｐは線分ＱＲの中点である。

（解答の方針）
式１の放物線上の点Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での接線の式をあらわし、
その接線点の式と式２とを連立させて、交点Ｑ，Ｒの座標を計算する式を求めれば良い。
ただし、問題の解き方も工夫する。

（解答）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝　２ｘ
Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での傾きｙ’は、
ｙ’＝　２ｐ　（式３）
式１の放物線上の点Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での接線の式は以下の式になる。
ｙ－（ｐ^２＋１）＝ｙ’（ｘ－ｐ）
ｙ＝ｙ’（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）
この式に式３を代入して、ｙ’を式３の右辺で置き換える。
ｙ＝２ｐ（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）　（式４）
式４と式２を連立して、接線と式２の放物線の交点Ｑ，Ｒの座標を求める式を計算する。
ｘ^２＝２ｐ（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）
ｘ^２－２ｐｘ＋ｐ^２－１＝０　（式５）
ここで問題の解き方を工夫する。
根と係数の関係により、交点Ｑ，Ｒのｘ座標をｑとｒとすると、式５のｘの係数との間に以下の関係が成り立つ。
２ｐ＝ｑ＋ｒ
ｐ＝（ｑ＋ｒ）／２
これは、接線上の点Ｐのｘ座標が、点ＱとＲの中点のｘ座標であることを意味する。
∴　Ｐは線分ＱＲの中点である。
（解答おわり）

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