ベクトル方程式で三角形の垂心の位置ベクトルを求める

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。 

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問１】
　三角形ＯＡＢＣの垂心Ｄの位置ベクトルを、ベクトルＯＡと、それに垂直なベクトルｈとであらわせ。
なお、点Ｏは原点、頂点Ａ，Ｂの座標は、
点Ａ（ａ，０）、点Ｂ（ａ_１，ｈ）とする。

【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルｂとｑとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｂとｑを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして、
（２）そして、ベクトルｂとｑが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

しかし、以下では（１）の秘訣は使わずに問題を解いてみます。

【解答】
ベクトルＯＢを、ベクトルＯＡ＝ａと、それに垂直なベクトルｈとであらわす。

ここで、

である。
そして、

でもある。
求める位置ベクトルＯＤは、以下の式（２）であらわせ、更に、式（３）でベクトルａとｈであらわせます。この式で係数ｋが未知数です。 

三角形の点ＡからＤまでいたるベクトルｑは、以下の式で計算できる。

三角形の一辺ＯＢのベクトルｂとそれに垂直なベクトルｑの間には、以下の式（５）の関係がある。この式（５）に式（１）と（４）を代入して計算する。

式（６）を更に変形する。

式（７）で求めた未知数ｋを式（２）に代入して求める位置ベクトルｄが式８で得られた。

ここで、

である。
（第１の解答）

（補足１） この第１の解答の式(8)を変形して整理すると、以下の式になる。


　一方、式８であらわした解を、更に、互いに垂直なベクトルａとベクトルｈを使ってあらわすように変形する。

上の式（８）の形の式は見た目はわかりやすい形に見えたが、式（９）の形にまで変形すると、垂心のベクトルａ上の高さの公式が見えてくる、より多くの情報が得られるより優れた式９が得られた。
　この式（９）の方が良い表わし方の式であることを理解するには、この問題を解く前に答えを予測する計算をする事が望ましい。
（解答おわり）

（補足２）図形を平行移動させる
　以上の解答は、三角形OABの頂点Oが原点にある場合の解答でした。
三角形が平行移動して頂点O（頂点C)が原点から外れた位置に平行移動した場合の解に変換してみます。

ベクトルＡは点Ａの位置ベクトル、
ベクトルＢは点Ｂの位置ベクトルとして、
ベクトルＤは点Ｄの位置ベクトルとして、
その解の変換は、式８は以下の式８ａに変換できます。

 この式８ａの左辺と右辺の各点の位置ベクトルは、点Ｃの位置ベクトルとの差であると解釈できます。

こうして、点Ｃの位置を原点以外の点に平行移動した場合の点Ｄの位置ベクトルを与える式８ｃが導かれた。

【位置ベクトルA,B,Cのみで垂心Dの位置ベクトルを表す】
式８ａは、更に、以下の式に変形できる。

とおいて、
以下の計算ができる。

（補足３）この式(11)から、式(11)の第２項によって垂心Dの頂点Bからの距離|p|が以下の式で表されることがわかる。


ここで、ベクトルｈは以下の式であらわせる。
ベクトルａvはベクトルａを左回りに９０度回転させたベクトルである。

この式１２と式１３を式１１に代入して計算する。

（計算おわり）
こうして、垂心Ｄの位置ベクトルを三角形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルであらわすことができた。

（補足４）
この式は、ベクトルの名前を付け替えてあらわすと以下の図の式になる。


この式41は、以下の意味を持つ式に変形できる。


また、式41は、正弦定理を使って変形することもできる。

次に、「タンジェントの美しい関係式」 を使って変形を進めることができる。


【問２】
　下図で、点Ａから垂心ＨまでのベクトルＡＨをベクトルＡＢとベクトルＡＣとであらわせ。


この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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