佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問】
上図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ１，ａ２）とＢ（ｂ１，ｂ２）である三角形ＯＡＢの面積を求めると以下の式になる。
△ＯＡＢ＝四角形ＯＭＰＮ－｛△ＯＭＡ＋△ＯＢＮ＋△ＡＰＢ｝
このクロス積の形をした式は、行列式とも呼ばれています。
この三角形を下図のように、偏角αとβ（頂点の角度θ＝β－α）と辺の長さｓとｔであらわす。
ａ１＝ｓ・ｃｏｓα
ａ２＝ｓ・ｓｉｎα
ｂ１＝ｔ・ｃｏｓβ
ｂ２＝ｔ・ｓｉｎβ
先に得られた式１は、以下の式に書き直せる。
△ＢＯＡの面積Ｓ
＝ｓ・ｔ（ｃｏｓα・ｓｉｎβ－ｃｏｓβ・ｓｉｎα）／２ （式２）
一方、２辺と侠角θ＝β－αで三角形の面積が計算でき、その面積は、以下の式であらわせる。
△ＢＯＡの面積Ｓ
式２と式３から、以下の関係が成り立つ。ｓｉｎ（β－α）＝ｃｏｓα・ｓｉｎβ－ｃｏｓβ・ｓｉｎα （式４）
この式は、後に学ぶ、三角関数の加法定理です。
この、三角関数の加法定理を覚え易い形の式に直すと、以下の式になる。
ｓｉｎ（β＋γ）＝ｃｏｓγ・ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ・ｓｉｎγ
（注意）
以上の考察は、数学的に厳密ではありません。
なぜなら、どんな三角形でも（式１）が成り立つことが証明されていないからです。
実際、どんな三角形でも（式１）は成り立っているので、この図の三角形の場合も、式１が導かれたというだけです。
（数学的に厳密にするには、上の図の形だけではなく、全ての種類の、三角形とそれを囲む四角形の形の場合（その場合の数はそれほど多くはありませんが）について、いずれの場合にも上の式１が成り立つことを証明すれば、数学的に厳密な証明になります。）
普通に数学的に厳密にするには、（式１）は、以下のようにして証明します。
先ず三角形の加法定理（式４）を用いて、（式２）を導き、
（式２）を書き直すと（式１）になるので、 全ての三角形について、（式１）が成り立つことが証明できます。
（他の証明方法）
本ページの最初の計算方法に近い方法に、ベクトルに分解して三角形の面積を計算する方法があります。その方法による公式の証明は、三角形の面積をベクトルで分解して計算するを参照してください。
（垂直なベクトルとの内積で計算する方法）
上図のように、ベクトルＯＡに垂直なベクトルＯＡｖとベクトルＯＢの内積によって三角形ＯＡＢの面積Ｓを計算することができます。
リンク：
【問】
△ＯＡＢ＝四角形ＯＭＰＮ－｛△ＯＭＡ＋△ＯＢＮ＋△ＡＰＢ｝
この三角形を下図のように、偏角αとβ（頂点の角度θ＝β－α）と辺の長さｓとｔであらわす。
ａ２＝ｓ・ｓｉｎα
ｂ１＝ｔ・ｃｏｓβ
ｂ２＝ｔ・ｓｉｎβ
先に得られた式１は、以下の式に書き直せる。
△ＢＯＡの面積Ｓ
＝ｓ・ｔ（ｃｏｓα・ｓｉｎβ－ｃｏｓβ・ｓｉｎα）／２ （式２）
一方、２辺と侠角θ＝β－αで三角形の面積が計算でき、その面積は、以下の式であらわせる。
△ＢＯＡの面積Ｓ
この式は、後に学ぶ、三角関数の加法定理です。
この、三角関数の加法定理を覚え易い形の式に直すと、以下の式になる。
ｓｉｎ（β＋γ）＝ｃｏｓγ・ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ・ｓｉｎγ
（注意）
以上の考察は、数学的に厳密ではありません。
なぜなら、どんな三角形でも（式１）が成り立つことが証明されていないからです。
実際、どんな三角形でも（式１）は成り立っているので、この図の三角形の場合も、式１が導かれたというだけです。
（数学的に厳密にするには、上の図の形だけではなく、全ての種類の、三角形とそれを囲む四角形の形の場合（その場合の数はそれほど多くはありませんが）について、いずれの場合にも上の式１が成り立つことを証明すれば、数学的に厳密な証明になります。）
普通に数学的に厳密にするには、（式１）は、以下のようにして証明します。
先ず三角形の加法定理（式４）を用いて、（式２）を導き、
（式２）を書き直すと（式１）になるので、 全ての三角形について、（式１）が成り立つことが証明できます。
（他の証明方法）
本ページの最初の計算方法に近い方法に、ベクトルに分解して三角形の面積を計算する方法があります。その方法による公式の証明は、三角形の面積をベクトルで分解して計算するを参照してください。
（垂直なベクトルとの内積で計算する方法）
リンク：
0 件のコメント:
コメントを投稿