ベクトルの使い道：問題をやさしくする数学

　数学は、本来、難しい問題をやさしく解く方法の探求によって生み出されてきた学問です。
　数学で何か新しい手法を学んだら、「その手法でどの問題がやさしくなるのだろうか」という価値判断で新しい手法を評価するのが良いと思います。

　以下、本シリーズでは、個々の数学手法が、数学のどの問題をやさしくするかという観点で、学んだ数学手法の使い道を解説していきます。

【ベクトルの使い道（１）】３点が１直線上にある証明が、図形の本質をつかんで論路的に証明できる。
　ここをクリックした先の事例が参考になると思う。


【ベクトルの使い道（２）】三角形の重心の計算が簡単になる。

【思い出してください】三角形の重心はベクトルで以下のように計算できたことを思い出してください。

先ず、実数変数のパラメータｓを使ってあらわした、以下の直線ＡＤの式１と、実数変数のパラメータｔを使ってあらわした直線ＢＥの式２をイコールで結んで計算する。
それだけで、２つの実数変数の値が確定して、それにより、その２つの直線の交点Ｇが計算できます。

式１と式２のベクトルをイコールで結ぶと、以下のように、２つの実数変数の値に関する連立方程式が得られ、それにより、２つの実数変数ｓとｔが確定する。

　この計算で、直線ＡＤと直線ＢＥの実数変数ｓとｔの値が確定し、それにより、交点Ｇをあらわす式が得られました。
 （解答おわり）

　直線ＡＤと直線ＣＦの交点Ｇをあらわす式は、ベクトルｂとベクトルｃを交換してあらわすことで得られます。その式は、上の計算で得たベクトルＡＧを表わす式と同じになります。よって、直線ＡＤと直線ＣＦの交点が、同じ点Ｇで交わることが証明できました。

（補足）
　なお、ベクトルであらわした２つの平面の交線を求めるときも同じで、実数変数のパラメータを使って面をあらわした、２つの面の式同士をイコールで結んで計算するだけで、３つの実数変数が消えて、１つの実数変数だけが残って、その実数変数であらわした交線の式が求まります。
　また、ベクトルであらわした３つの平面の交点を求めるときは３つの面の式を互いにイコールで結んで計算すれば良い。

  （むずかしい問題がやさしくなったか）
　三角形に描いた３直線が１点（重心）で交わる問題を図形の証明問題として解こうとするとけっこう難しい問題だったと思います。その難しい問題がベクトルを使うことでやさしくなりました。

【問】以下の図の面αと面βの交線を求めよ。

このような問題も、以下の式１と式２の様に、
実数変数のパラメータｓとｔを使って面αをあらわし、
実数変数のパラメータｗとｕを使って面βをあらわします。

以下の様に、その２つの面の式同士をイコールで結び、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけ（それが難しいので訓練が必要ですが）で答えが得られます。

このベクトル方程式のベクトルａ、ｂ、ｃが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な（他のベクトルの線形結合ではあらわせない）場合に限り、以下の式が成り立ちます。

この、４つの実数変数ｓとｕとｔとｗに関する３つの式の連立方程式を解いて、式１の２つの実数変数ｓとｔの関係を求める。

上の計算で得た、実数の変数ｔを実数の変数ｓであらわす式３を、面をあらわす式１に代入して実数変数ｔを消去して、実数変数ｓだけで位置ベクトルをあらわす式４を得る。

式４ｂは、１つの実数変数ｓだけで位置ベクトルをあらわす式であり、その式は、直線（交線）の位置ベクトルの式である。
すなわち、実数変数ｓと、ベクトルｃとベクトルａを使った式３ｂで交線があらわされた。
（解答おわり）

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