ベクトルの角度を複素数平面で扱えることを初めて知ったら円周角の定理を試してみよう

初めて知った新しい事はさっそく試してみよう

　数学の本質は好奇心を刺激するものだから、数学は好奇心の本能のままに勉強するのが良いと考えます。

（自分の納得できない数学の公式は覚えないようにして、好奇心の純潔を保ちましょう。
勉強して納得できてから公式を覚えれば十分間に合います。
　数学のテストの成績のためにといって納得できないことを無理に詰め込んでいると、いつか破綻すると思いますので、無理はしないようにしましょう。）

（反論への反論）
　上の考え方には、以下のような反論が考えられます。
（１）「公式を覚えなければ数学の学力が低下して授業についていけなくなり、結局落ちこぼれてしまうではないか。」
という反論が考えられます。
　その反論に対しては以下のように反論したいと思います。
（２）数学は勉強すれば学力が伸びる学問だと思います。公式が覚えられるまで納得できるまで数学を勉強することで授業についていくようにして欲しい。
　公式は、自分で問題を解く体験によってつかみ取った、自分で使える生きた公式を覚えてください。使えない死んだ公式は無駄な雑音なので覚えないでください。
　問題を自分で解く体験の中で、死んでいる公式が、使える生きた公式に変わります。そのときに、その公式を覚えてください。
（３）自分で問題を解きながら、良い解き方のパターンをつかみ取って、そのパターンを覚えやすい自分の公式の形に表わして、その使える生きた公式を覚えるよう心がけてください。
（４）実際、数学の実力が学年の平均を上回っているからといっても、使える生きた公式を学んでいない人が実に多いように思います。そういう状況なので、たとえ数学を一切勉強していなくて学年最下位の成績であっても、自分で使える生きた数学の公式をつかみ取り始めたら、通常の数倍の速度で実力が向上する、という特徴が数学という学問にはあります。
（５）数学を嫌いになると、そういう急速な学習を妨げることになりますので、数学を嫌いにならないでください。
（６）高校３年間、数学の授業は一切聞かない最下位の学生で、しかし、数学にいやな思いを持たず数学が嫌いにならなかった学生は、１年間もあれば、３年間勉強して来て学年平均以上の数学の実力があるが数学をあまり好きでは無い学生を大きく引き離す数学の力をつけられるものです。
　そのため、数学を嫌いにならないようにする手段として、「数学を勉強しない」という手段を選んでも良いから、数学を嫌いにならないようにしてください。
「そうすれば、生きた数学を勉強し始めたら急速に成長できます。その芽を摘み取らないようにして、有意義な人生を送って行って欲しいと思います。」

　さて、ベクトルの角度は複素数平面で計算できることを初めて知ったら、好奇心の本能のままに導かれる以下の問題を自分で解いてみて、この方針による計算がどれだけ楽か、あるいは大変なのか、どちらであるかを、体験して試してみましょう。

【問】円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。

（注意）オイラーの定理「ｅｘｐ（ｉβ）＝（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）をｅｘｐ（ｉβ）であらわした方が式が簡潔だからです。

（解答例）ここをクリックした先のページに解答例を書きました。
（解答例２）オイラーの公式を学んだ理系大学生の解答例
（解答例３）一番簡単な解き方：複素数平面の計算公式を使う

　先ずは、この解答を見ずに、この問題を自力で計算する努力をして欲しい。その方が数学の計算技術が磨かれ、数学が楽しくなると思いますので。

リンク：
複素数計算の公式を覚える
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