自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚える

自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。


（第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第１優先にしましょう。

（優先順位の２位以下のこと）
　それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少し計算が推進されますので、以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。 

　複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返す計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンの起点と終点を、自分だけの公式として覚えましょう。
　これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

　そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開（言わば、公式の証明）をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
　しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【自分だけの公式の例】
　ベクトルの内積に関して、複素数平面を利用して表現した以下の公式があります。

（注意１）
　この証明には、円周角の定理を利用し、また、複素数の計算も利用しています。このように、図形の定理を使える限り使う事が、複素数の問題を解くために望ましい事です。
（注意２）
　この公式は、右辺は、ベクトルｚとベクトルβの内積の２倍をあらわしている。それは、ベクトルｚの虚軸に射影した長さ＝三角形の高さにベクトルβの長さを掛け算した値になる。
　そのため、この公式は、図形で証明できている、
「余弦定理に類似した外心の高さを含む式」
をあらわしている。
また、ベクトルで証明した
「三角形の辺のベクトルの内積の変換公式」
でもあります。

【余弦定理に類似した外心の高さを含む式】 

 上の三角形に関する上の式の定理を、複素数の式を展開して証明しただけである。そのため、このページは、その定理の証明の１つとしての参考にするだけで読めば良いと考えます。

　この公式（１）は、三角形の外接円の中心の高さＹを求める定理をあらわしています。

　公式（１）は、ベクトルの点を結ぶ（三角形の）外接円の高さが分かっているときに、複素数であらわしたベクトルの内積を簡単化するのに使えます。
　公式（１）は、外接円の高さが分かっているときに、複素数ｚとその共役複素数の積の項を無くして、式を簡単化する役に立ちます。 

この公式（１）を使うと、以下のようにベクトルの内積の式の展開方針が立てられます。


しかし、この公式（１）は自分だけの公式ですので、このような式の展開は他の人には理解されません。そのため、他の人に理解されるように（また、自分もこの公式の確からしさを確認するために）、
以下のようにベクトルの内積の式を展開して示すか、又は、図形で証明した「余弦定理に類似した外心の高さを含む式」を示した上で使えば良いと考えます。

リンク：
複素数計算の公式を覚える
高校数学の目次