正弦定理余弦定理を使った問題の解き方

【解答に向かう式の変形の方向】 
以下で、正弦定理と余弦定理を整理して、
問題を解く道具の形の式に表します。

 

上の式で、
（上昇）とは、解答に向かって進む式の変形の方向を言います。
（下降）とは、解答から遠ざかり問題側に戻る式の変形の方向を言います。
　なお、正弦定理と余弦定理を以下の式の形であらわすと、公式が更に覚え易くなると考えます。

サイン、コサインで表された式を、サイン、コサインを使わない式に変形することが、問題の解答に近づく式の変形の方向（上昇）です。
式をあえてサイン、コサインを使った式にする式の変形は、解答に近づいた式を問題側に戻す、逆戻り（下降）の式の変形です。

【問題を発見する】
以下では、式を解答側から問題側に戻して問題を発見してみます。

上の図で、
ＡＤ－ＭＤ＝ＡＭ　（３’）
を考えます。

式（４）では、頂点から垂心までの距離Ｐが外心の高さＹの２倍であることを使いました。
（ここをクリックした先のページを参照）
式（４）において、外心の高さＹをｃｏｓＡを使ってあらわすのは、問題側へ逆戻り（下降）する式の変形です。

次に、以下の式を考えます。

三角形の高さＡＤ＝ｈをサインとコサインで表した式（５）は、問題側に逆戻りする式の変形（下降）であり、
ＡＤ＝ｈをサイン、コサインを使わないで表した式（６）は解答に近付く式の変形（上昇）です。

ここで、垂心の高さＭＤ＝ｍは、以下の式（７）で表されることが分かっています。
（「三角形の垂心の高さ」（ここをクリック）を参照）

この式（７）を、以下のようにして、問題側に逆戻りさせる計算をします。

上の式でｈを変形する際に、解答に近付く（上昇）の式（６）を使ったのは、式の変形をなるべくスッキリした解答に近付けたかったからです。
その目的通り、スッキリした式（８）が得られました。

上の式で、ｈを変形する際に、解答から遠ざかる、（下降）の式（５）を使うと式が複雑になる落とし穴に落ちます。
しかし、ｈもｂもｃも一緒に徹底して解答から遠ざかる、（下降）の式の変形をすると、それはそれで、以下の式のように変形することができます。

次に、最初の式（３）を、式（４）と、解答から遠ざかるように逆戻りした式（５）と（８）を使って整理します。

式（９）は、問題に逆戻りした式です。
以上の逆もどりの式の変形の結果、式（９）という、証明すべき式が存在することがわかりました。
この式（加法定理）とその証明は、高校２年で学びます。

次に、以下の当然の式（１０）を、解答から遠ざかるように逆もどり（下降）する式の変形をします。

式（１１）は、問題に逆戻りした式です。
以上の逆もどりの式の変形の結果、式（１１）という、証明すべき式が存在することがわかりました。
この式（加法定理）とその証明は、高校２年で学びます。

【三角形の図から加法定理を導出する】
　なお、この式１１の加法定理は、以下の図の計算からも導き出されます。
　以下の様に三角形の各辺を正弦定理を使って表わして、また、点Ａから辺ＢＣに垂直な補助線を引いてＢＣの長さを分割された要素の和でもあると考えると、加法定理が導き出されます。

そして：
ｓｉｎ（π－Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
（加法定理の導出おわり）

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