条件付き確率の計算例題１

【条件付き確率とは何か】
　条件付き確率とは、発生し得る全事象のうち、一部の事象の集合に事象の範囲を制限した場合の、その事象の集合の範囲内での所定の事象の発生確率が「条件付き確率」です。
　その事象の集合の範囲を規定する条件が、条件付き確率における「条件」です。

　「サイコロの目が４以上であった場合において」～といった問題における「サイコロの目が４以上」が条件です。

　「サイコロの目が、４以上であると言える５の目が出た場合において」～といった問題においては、定まった条件「サイコロの目が５」こそが条件です。

（補足）
　事象の発生頻度を規定する条件（例えば正解を知っている司会者が好んで不正解を選択することで、不正解が選択される確率を上げるといった条件）は、事象の集合の範囲を制限する「条件」とは異なります。

【例題１】
　ある夫婦には子供が二人いる。二人のうち少なくとも一人は男の子であるということが分かった。このとき，二人とも男の子である確率を求めよ。ただし，男の子が生まれる確率，女の子が生まれる確率はともに１／２とする。

【解答】
「樹形図の基本ルール」のページのルールに従って、以下の樹形図を書く。

　この樹形図を使うことで、 
２人とも男である場合は、１人が男である場合の３つの内の１つであるので、その条件付き確率＝１／３である。
（解答おわり）

【例題２】
　ある夫婦には子供が二人いる。二人のうち年上の方が男の子であるということが分かった。このとき，二人とも男の子である確率を求めよ。ただし，男の子が生まれる確率，女の子が生まれる確率はともに１／２とする。 

【解答】

　この樹形図を使うことで、
２人とも男である場合は、年上の方が男の子である場合の２つの内の１つであるので、その条件付き確率＝１／２である。
（解答おわり）

　例題２の問題の場合は、
条件付き確率の問題の「条件」を考える複雑さが何も無く、ある状況（年上の方が男の子である）になっている問題を解くだけの問題になっています。

　そのため、以下の例題３で、後の状況が判明した場合（条件）に対し、最初の状況の確率を求めるという、複雑な条件付き確率の問題を考えます。
【例題３】
　赤玉５個、白玉３個ある袋から一つの玉を取り出し、その玉を戻さずに２回目に他の玉を引くとします。
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率を求めよ。

【解答１】

　この樹形図を使うことで、
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率は、樹形図の枝の太さの比を以下の式で計算して求められます。

すなわち、その条件付き確率＝４／７である。
（解答１おわり）

【（例題３の）解答２】
　樹形図は、事象の連鎖の糸を自由に枝に束ねて、しかも事象の発生順に従う必要も無く、再編成して樹形図を書くことができます。そのため、以下の樹形図を書いてこの問題を解くこともできます。

（この樹形図では、事象の連鎖の糸は、８×７＝５６本あり、１本の糸の太さは、ｓ／７です）

　この樹形図を使うことで、
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率は、樹形図の枝の太さの比を以下の式で計算して求められます。

すなわち、その条件付き確率＝４／７である。
（解答２おわり）

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