平方根の式を多項式に変換する問題（３次方程式が成り立つ場合）

【問題１】　以下の３次方程式１が成り立つとき、平方根の式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式４を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式５を計算する。

式４と式５を式３に代入する。

以上の計算で根号を外すことができた。

次に、この分数式を普通の多項式に変換する。

（Ｃ）先ず、１／（α－１）を計算する。
　式１を（α－１）で割り算した式を作り、変形することで１／（α－１）をあらわす以下の式７を計算する。

（Ｄ）次に、１／（α＋１）を計算する。
　式１を（α＋１）で割り算した式を作り、変形することで１／（α＋１）をあらわす以下の式８を計算する。

式７と式８を式６に代入する。

（解答おわり）

【解答のブラッシュアップ】
　先の解答は、計算の発想順が明確で良い解答だと思います。しかし、計算の手順に無駄がありました。
式４を導く計算部分を以下のように変えると、分数式を経由せずに解答することができます。

そのようにして、解答を書き直すと、
以下のように解答できます。

（解答はじめ）
問題の式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式１０を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式１１を計算する。

 式１０と式１１を式３に代入する。

（解答おわり）

次に、この問題をより一般化した問題を解く。
【問題２】　以下の式１が成り立つとき、平方根の式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
問題の式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式４を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式５を計算する。

式４と式５を式３に代入する。

 計算をここで終えた方が答えの式が簡易な式になる。
（解答おわり）

（補足）
上の計算で、式４から６までの計算を以下の式７から９までの計算に変えた方が、より簡単な式で答えをあらわすことができると考える。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。

式７と式８を式３に代入する。

（解答おわり）

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