2017年5月17日水曜日

双対曲線を求める問題(2)

【問】
上の式1があらわす曲線の双対曲線を求めよ。

(コメント)この問題は大学の数学科に入学した学生用の問題です。そのため、この問題は、医学部をめざす受験生も、無視してください。

【解答】
 この曲線1’に点(x,y)で接する直線を、以下の式2であらわす。
式1に式3を代入してyを消去した式4を求める。
式3のあらわす直線が式1のあらわすグラフに接するので、
式3を式1に代入してyを消去して得たxの方程式の式4の解は、
直線とグラフの交点のx座標が、直線がグラフに接する事を意味する、重根のx座標の解が得られるハズである。

その重根をkとすると、式4を因数分解した式には(x-k) の2乗の式を含む。

そのため、式4を微分しても、なお、(x-k)が消えずに残る。
式4を微分した式で、(x-k)を持つ以下の式5を計算する。
 この式5と式4とをユークリッドの互除法で計算して式の余りを計算していく。
 その計算により、その式4と式5の共通因数(x-k)が余りで計算できる。
 ユークリッドの互除法では、最終的に、,U,Uの式であらわされる定数の式が得られる。
 その定数の式は、共通因数(x-k)で式4と式5を割り切った余り=0を表す式である。
すなわち、
その定数を表すU,U,U式=0
である。
この式が、求める双対曲線の式である。
(U,U,U)が、射影空間での、双対曲線の座標(Z,X,Y)をあらわす。

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2 件のコメント:

  1.  ありがちな FAQ ; 4次曲線 の 2重接線 に ついて

    双対曲線の定義はもう知悉でせうが ↓の2行 と XJAPAN
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148475134078075794177.gif

      XLAPAN が 2重接線 を 求め 図示してゐる 。

    (易しい http://mathpotd.blogspot.jp/2009/09/double-tangent-line.html  に 酷似)

    == 此処からが 問題です == ;

         c ; x^4-2 x^3-2 x^2 y+4 x^2+2 x y-x+y^2-7 y+10=0 なる4次曲線 について
         
    (1) c の 双対曲線 c^★ を 是非 求めて 下さい;
     

    (2) そして c の二重接線 T を求めて下さい (何故 そして と表現したか);

    (3) cとTで囲まれる部分の面積(FAQ) をも お願い致します;

    (4) 獲た面積を y軸に平行な直線で 公平に 2等分願います; x=_____.

    (5) 流行の 不定方程式(Diophantine equation)方程式を是非解いて下さい;

    c^★∩Z^2=

    c∩Z^2=
     
    実は 今回は お気付でしょうが c^★=c1^★∪c2^★ と 可約です。

    以下の 不定方程式(Diophantine equation)を是非解いて下さい;


    c1^★∩Z^2=

    c2^★∩Z^2=


                cも可約曲線で  逆立ちして 軌道を 観察すると ;

    https://www.google.co.jp/search?q=%E3%80%8C%E3%83%AD%E3%83%95%E3%83%86%E3%83%83%E3%83%89%E8%BB%8C%E9%81%93%E3%80%8D&hl=ja&rlz=1T4GGNI_ja___JP534&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjT65agh_fTAhVCpJQKHR4ZATgQ_AUICygC&biw=1280&bih=513

    今回の cj^★∩Z^2 (j=1,2) は cj^★が 漸近線を 有する 曲線で 君の名は; 双曲線

    で 格子点は 容易とは 云えない人が世界に存在するでせう......


    https://www.youtube.com/watch?v=Dbwv_uo33qc


    返信削除
  2. 2017/05/17 01:36 (<---昨日)
    x^3+x^3+1-3xyを因数分解せよ。
    答えにたどり着くまでの過程も書いてほしいです!!
    お願いしますm(_ _)m

    ------- なる 迷える 子羊 に 触発され ↓を 少女A が 産んだ;------------


    ありがちな 観馴れた 3 次式を 含む

    3 次代数曲面 S ; 343*(x^3 + y^3 +z^3- 3*x*y*z) +1 = 0 について;

    (1) Sの双対曲面 S^★を 是非求めてください;


    双対曲線の定義はもう知悉でせうが ↓の2行 と XJAPAN
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148475134078075794177.gif
      (XLAPAN が 2重接線 を 求め 図示してゐる)

    (2) 廃れない 流行りの 不定方程式(Diophantine equation)を解いて下さい; 

       S^★∩Z^3 を 求めて;
      
      
      
      格子点が S^★ 上 に 分布している 様子を 見せて 魅せて 下さい;
      
      
     https://www.youtube.com/watch?v=atISBKMgzsE 
     
      S^★ 上の格子点で 次の各球面上に【症例写真 プツプツ】と 在る 格子点達を 明記願います;

    x^2 + y^2 + z^2 = 49, x^2 + y^2 + z^2 = 39217, x^2 + y^2 + z^2 = 805   ;

    https://www.google.co.jp/search?q=%E3%83%97%E3%83%84%E3%83%97%E3%83%84&hl=ja&rlz=1T4GGNI_ja___JP534&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjVpOqeufjTAhWGX5QKHQwKD-AQ_AUICigB&biw=1097&bih=439


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