方程式の有理数解の有無の判定

　最高次の係数が１である整数係数方程式が有理数の解を持つ場合、その解は整数解になる。
これを利用して、整数係数の方程式が有理数解を持つか否かを素早く見極めることができる。

以下の例題で、方程式の有理数解の有無の素早い判定方法を示す。

【例題１】
　以下の方程式１は有理数解を持たないことを確認せよ。

【解答】
　式１を、以下のようにして最高次の係数が１である整数係数方程式に変換する。

とする変数ｗを用いて、式１を以下の式３に書き変える。

 この式３は、最高次の係数が１の整数係数方程式であるので、式３が有理数解ｗを持つ場合、その解ｗは整数解になる。

ここで、式３を変形すると、以下の式４が得られるので、式３が整数解ｗを持つ場合、その解ｗは２の倍数になることがわかる。

 この結果、式１が有理数解ｘを持てば、その有理数解は、式２により、以下の様に整数解になる。

ここで、式１を変形すると、以下の式６が得られるので、式１が整数解ｘを持つ場合、その解ｘは１の約数で、１か－１になることがわかる。

この、ｘ の解の候補の１と－１のどちらも式１の解にならない。

よって、方程式１は有理数解を持たない。
（確認おわり）

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