円と放物線が接する条件（２）

（２つのグラフが接する条件を求める問題）

【問】
　以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。

【解答】
　先ずは、下図のようなグラフを描いて、問題の見通しを良くしてから問題を解きます。

図から、接点は、ｙ＝－１の点とｙ＝１の点と、それ以外にｙ座標が－１／２程度の２つの点との合計４点あると、見通しを立てます。
（それをそのまま解答にしても良い）

接点を求める問題は、微分で接点の条件を与える方程式を作ることが計算を少なくできるコツです。

そのため、以下で、微分を利用して接点の条件を与える方程式を作ります。

これにより：
この式５ｂと先の２つのグラフの式２つとの、２変数の３つの式を連立させて、ｋを求める問題に変換できました。

式５ｂから、以下の式６が得られます。

以下で、この式の２つの場合に分けて、解を求めます。

 これにより、以下の第１の解の群が得られた。

次に、式６のもう１つの場合の解を求めます。

これにより、以下の第２の解の群が得られた。

よって、式１のグラフと式２のグラフが接するようにするｋの値は、

ｋ＝±１，　－５／４
の３つです。
（解答おわり）

（補足）
　式６ｂの場合の第２の解の群は、微分を用いないでも、以下の様にして接点が２重解を持つ条件から導くことができます。
（１）＋（２）：

この２次方程式は、
ｋ＝－５／４
の場合に２重解を持ちます。
　しかし、その２重解が接点をあらわすことはあまり明確ではありません。
また、この２次方程式にこだわると、
式６ａの場合の接点の第１の解の群を見落とす恐れがあります。
　そのため、接点を求める計算では、
微分を利用した接点の条件の式５ｂを使って、式６ａと式６ｂを導き出す明確な計算によって接点を計算する方が望ましいです。 

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