三角形の辺と角度の難問

【問１】（難問）

上の図のように、ＯＡ＝１，ＯＢ＝３とする。
∠ＯＰＡ＝∠ＡＰＢ
のとき、
ＯＰの長さを求めなさい。

【解答】
　この問題では、以下の様に、水平線上の点の高さの比の公式を使って解く。

先ず、線分ＰＡを、高さ０（０ｈ）の水平線であるものとする。

点Ｂの水平線上の高さを（２ｈ）とすると、
点Ｏの高さは（－ｈ）になる。
∠ＯＰＡ＝∠ＡＰＢであり
水平線ＰＡに対する傾きが同じ斜め線に、この高さの比が反映されて、
ＢＰ：ＯＰ＝２：１
になる。

ここで、正三角形を２分した直角三角形の各辺同士の長さの比を思い出すこと。

直角三角形ＯＰＢは、斜辺と他の辺の比が、正三角形を２分した直角三角形の斜辺と他の辺の比と同じなので、
その直角三角形と相似である。
よって、
∠ＯＰＢ＝６０°

正三角形を２分した直角三角形との相似比を用いて計算した結果、
ＯＰ＝√３
である。
（解答おわり）

（補足）
この計算過程を答案に書く場合に、
（もし覚えていれば）
「三角形の角の二等分線の公式により、
ＯＰ：ＢＰ＝ＯＡ：ＢＡ＝１：２
である。」
と、答案に書いても良いが、
上に書いた様に考えて解く方が、
より応用が利く解き方なので、
優れていると思う。

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