三角形の３辺から頂角の三角比を求める

「三角形の高さと外接円の半径の関係の証明」のページの結論：
または、
「三角形の外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる」ページの結論：

（ただし、辺の長さａとｂとｃを入れ替えた式も同じ値になる。また、この式は更に因数分解できる。）

この式と正弦定理から、角Aのsinが以下の式で計算できます。

なお、余弦定理から、角Aのcosが以下の式で計算できます。

ここで、点Aが辺ＢＣの下側の円弧上にある場合は、∠Ａ＞９０°になるので、cosAは負の値になります。
cosAは、∠Ａと１対１対応するので、cosA を求めれば、角度Ａは１つに定まる。

　なお、このcosAから、再度sinAを、以下の様に計算してみます。

（注意）正の値のsinAを与える角度は、∠Aと、（180°－∠A）との２つの角度があり、∠Ａが１つに確定しないという問題点がある。

リンク：
高校数学の目次