勉強しよう数学: ベクトルの交点の公式の解き方のバラエティ

【ベクトルの交点の公式】
以下の図の、点Aを始点とするベクトルａと、
点Ｂを始点とするベクトルｂの交点ＰまでのベクトルＢＰは、下の式で計算できる。

　この式は以下の式と等価です。以下の式の形が、ベクトルＢＡを使っても良く、また、ベクトルＢＣを使っても良く、式の形が１つには定まらない。

（ベクトルの交点の公式おわり）

（補足）
　ベクトルＢＰを表す公式は、１つの形には定まらないので、この式の計算は複雑になり得るので、この式を使う計算には注意が必要です。
（計算が複雑になり得る（計算の森の中で迷子になり得る）のは、式が１つの形には定まらず、それが、式のバラエティをとても大きくするからです。）

【例題１】
以下の図のベクトルＢＰをベクトルＢＥであらわせ。

（例題１おわり）

【例題１の解１】
ベクトルの交点の公式により、
ベクトルＢＰは以下の式で計算できる。

（解１おわり）

【解２】
　ベクトルｄへの垂直ベクトルを使う計算式は複雑でわかりにくかった。それよりももっと明確で簡単な解き方として、以下のように解く。
　先ず直線APDを水平線として、水平線の高さを０にする。それ以外の点の高さを、以下のようにして順次に定めていく。

（解２おわり）

【解３】
　オーソドックスには、ベクトル方程式を使って以下のように解くことができる。

（解３おわり）

【解４】
　以下のように、直線BEの式と直線ADの式を書いて、速やかに直線の交点P（に係る係数の連立方程式）を求めることができる。

あとは、これを解けば良い。
（解４おわり）

【例題２】

上の図の三角形OABで、ADとBCの交点PのベクトルOPを、ベクトルaとベクトルｂであらわせ。
（例題２おわり）

【例題２の解答（１）】
以下の様にベクトル方程式を解いてベクトルOPをベクトルａとベクトルｂであらわす。
(1)=(2):

（解答（１）おわり）

（例題２の検算方法）
しかし、この公式は覚えられない。
また、この計算を実際に行う過程で、計算間違いをし易い。
その計算の検算を兼ねて、もっと速やかに計算できる方法の１つは、スーパーメネラウスの定理を使って、以下の様に計算します。

この、スーパーメネラウスの定理を使って、以下の計算でベクトルOPが計算できます。

この様にスーパーメネラウスの定理を使って答えが求められます。（この計算以外にも、もっと速やかに計算することもできます）。
（例題２の検算おわり）

　もっと簡単に、以下の図形の辺の長さの関係から、メネラウスの定理を使って、ベクトルＯＰを求めることができる。

【例題２の解答（２）】

　例題２の解答（１）のベクトルの係数の公式は複雑な式なので、覚えられませんでした。しかし、以下の解き方の途中で出てくる公式を覚えることはできると思います。

（解答はじめ）
　先ず、ベクトルＯＰを以下の式（１）であらわします。

すると、点Pが線分AD上にあることと、ベクトルODがベクトルOBに平行であることから、以下の式が成り立つ。

同様にして、点Pが線分BC上にあることと、ベクトルOCがベクトルOAに平行であることから、以下の式が成り立つ。

----------------補足------------------------
　これらの式(3)と(5)は覚え易い。
ｘとｙからｓとｔを表す公式は、以下の式(6)と(7)になる。これらの公式は覚えやすい。

すなわち、例題２の図でのベクトルOPからベクトルOCとベクトルODを求める公式は覚えやすい。その公式を覚えるには、先ず式(3)と(5)を導き出し、続けて式(6)と(7)を導き出す手順を覚えるのが、その公式の良い覚え方だと思う。
----------------補足おわり------------------

　式(3)と(5)を用いて、ｓとｔからｘとｙを計算すれば、再び解答（１）と同じ解が得られる。