指数関数の合成関数の微分の公式

　高校２年の微分の授業で、対数微分を教えていない。

　そもそも、対数関数の微分を高校３年になってから数Ⅲでようやく教えている。
　しかし、対数微分を教えないと微分の重要な公式を導き出す（証明する）こともできない。証明していない公式を覚えさせて使わせるという、数学教育の崩壊に近いことも行われているようです。
　そういう不健全状態を改善するために、高校２年生も、対数微分を覚えるべきと考えます。

　対数微分法を使って、以下の、指数関数の合成関数の微分の公式を導きます。

【問題１】 
　以下の式１の、関数ｆの関数ｇ乗である関数 h(x) を微分せよ。
ただし、f>0とする。

【解答】
関数 h(x) の対数をとる。

 この式２の両辺を微分する。
（対数関数の微分の公式を使う）

 この式を整理して関数 h(x) の微分の式を求める。

（指数関数の合成関数の微分の公式おわり）

（補足１）
この公式の第２項は、関数f(x)>x の場合で、g(x)=実数nの場合の、f(x)のn 乗の式の微分の公式をあらわす。

（補足２）
この公式の第１項は、以下の、f(x)=実数 a の場合の、aの g(x) 乗の式の微分の公式をあらわす。

（まとめ）
以上の補足１と補足２をまとめると、上記の指数関数の合成関数の微分の公式は、関数ｆかｇの一方が定数の場合に、一方の項が消える形をした以下の形の公式：

 で覚えた方が覚えやすいと思います。
更には、大学１年生になると学ぶ、２変数関数の微分公式：

で覚える方が、もっと簡単だとも思います。
２変数関数の微分公式は、大学１年生向けの参考書：例えば：「やさしく学べる微分積分」（石村園子）などで学んでください。

（注意）
　なお、関数 h(x) がｆのｇ乗であるからといって、
誤解した合成関数の微分の公式に従って、h(x)の微分を、
(fの(g-1)乗)×g×g'(x)
や、
(fの(g-1)乗)×g×f'(x)
であるという間違いをしないように注意してください。

合成関数の微分の公式は、変数ｘを完全に変数g(x)に置き換えて、その変数ｇによって、
h(x)=m(g)とあらわされる（関数m(g)の中に変数ｘが混在していない）場合に成り立つ公式です。
上の計算の誤りは、 
fのg乗=h(x)を、ｆを無視して良い関数m(g)だと誤解したところにあります。
その式は、以下の式に置き換えて考えるようにしてください。

fのg乗=h(x)が、変数ｘが混在していない、媒介変数ｇだけで表されている関数 m(g)に置き換えられた場合に合成関数の微分の公式を適用します。
そういう関数 m(g)が見つけられなければ、合成関数の微分の公式は使え無いのです。
（上の式の様に変換してしまえば、指数部分にｘの全ての関数を押し込めたgが記述でき、簡単に微分計算ができます）
（厳密に言うと、関数m(g)が見つけられない場合は、２変数関数の微分公式を使うのです。） 
変数ｘが混在していない変数ｇだけの関数m(g)でh(x)が置き換えられた場合に、
dh(x)/dx=(dm(g)/dg) (dg/dx)
という式が成り立つというのが、
合成関数の微分の公式なのです。

（事例１）
(fのg乗)の関数が、変数ｆと定数ａによって、
m(f)=fのa乗とあらわされる場合に、
合成関数の微分の公式を使って
dh(x)/dx=(fの(a-1)乗)(df/dx)
という計算ができます。

（事例２）
(fのg乗)の関数が、変数gと定数ａによって、
m(g)=aのg乗とあらわされる場合に、
合成関数の微分の公式を使って
dh(x)/dx=(aのg乗)(log(a))(dg/dx)
という計算ができます。

上の事例１と事例２の様に合成関数の微分の公式が使える場合は、
関数ｆかｇかの一方が定数である場合なのです。
（注意おわり） 

【問題２】 
以下の関数 h(x)を微分せよ。
ただし、ｘ＞０とする。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
この問題を自力で解いた後で、解答のページも見て下さい。
参考のために、合成関数の微分の公式を利用して解く解答も書きましたので、、、

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