ベクトルAとBに対し９０度と角度θを成すベクトル

【問題１】
以下のベクトルAに対し９０度、ベクトルBに対し６０度の角度、又はその逆方向（１２０度の角度）を成すベクトルHを求めよ。
ベクトルHは、ベクトルBに対し６０度でも、又は、その方向が逆向きになって１２０度の角度を成すベクトルでも、どちらの方向でも良いものとする。

【解答１】
ベクトルHに関して以下の式が成り立つ。

θは６０度又は１２０度の角度である。

この問題の解き方は、先ず、ベクトルＡに垂直なベクトル２つを求め、その２つのベクトルの和でベクトルＨをあらわして、ベクトルＨを求める、という見通しの良い解き方をしよう。

そのために、ベクトルAに垂直な、以下の２つのベクトルｍとｎを考える。

（補足：別解）ベクトルAに垂直な２つのベクトルｍとｎは、以下の様に表すこともできます。

（別解おわり）

この２つのベクトルｍとｎを使えば、式１を満足する、ベクトルAに垂直な全てのベクトルHを、係数ｓとｔを使った以下の式であらわすことができる。

ベクトルｎが、ベクトルBに対し６０度又は１２０度の角度を成す条件を満足するベクトルであったならば、ベクトルHを定める係数 s=0 になる。
そうで無ければ、
以下の式３で、未知の係数ｋを使ってベクトルHをあらわすことができる。
（ただし、逆方向のベクトルを表すには負の値の係数を掛け算する必要があり、大きさの異なるベクトルを表すにはその大きさの比の係数を掛け算する必要がある。）

以下のように、式3であらわすベクトルHを式2に代入して、ベクトルHを求める。

この式４の両辺を二乗する。

これで未知の係数ｋが求められたので、このｋを式式3に代入してベクトルHを求める。

このベクトルHに所定の正負の係数ｓを掛け算したベクトルを作れば、ベクトルAに対し９０度、ベクトルBに対し６０度又は１２０度の角度を成す全てのベクトルが得られる。
（解答おわり）

【ベクトルＡを１軸にした直交座標系の他の軸を構成するベクトルＶとＷ】
それらのベクトル（単位ベクトル）ＶとＷは以下のようにして求めることができます。


このベクトルＶとＷを合成することで、ベクトルＡに垂直な全てのベクトルを作ることができます。

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