関数で表した恒等式とは何

【問１】
以下の関数ｆ（ｘ）が全ての実数ｘで恒等的に０になる事を証明せよ。

g(x)=0,  (x≠0)
g(x)=100,  (x=0)
とした場合の
f(x)=xg(x),
について：

f(x)=0,
この式は恒等式であるか。

【証明】
(A) x=0 の場合：
f(x)=(0・100)=0,

(B) x≠0 の場合：
f(x)=(x・0)=0,

(C)
ゆえに、全ての実数ｘで
f(x)=0,
f(x)=0は恒等的に成り立つ恒等式である。
（証明おわり）

【問２】
問１の恒等式 f(x)=0 をｘで割り算した式は恒等式になるか。

【解答】
f(x)=0,
f(x)=xg(x)=0,

(A) x≠0 の場合：
式 f(x)=0 をｘで割り算でき、
g(x)=0, 
になる。
この式は成り立つ。

(B) x=0 の場合：
式 f(x)=0 をｘで割り算した式はg(x)になり、g(x)はx=0でg(0)=100≠0である。よって、
恒等式 f(x)=0 をｘで割り算した式は、恒等式にならない。

すなわち：
xg(x)=0,
は恒等式であるが、
g(x)=0,
は、ｘ＝０の場合には成り立たたず、恒等式ではない。
（解答おわり）

【恒等式を因数ｘで割り算した式が恒等式になる場合】
　恒等式：
ｘｇ(ｘ)＝０,
がある場合に、
その恒等式を共通因数ｘで割り算すると、
ｇ（ｘ）＝０，
が得られる。
もし、この式ｇ（ｘ）がｘ＝０の点で連続であるならば、この式は恒等式になる。
（証明開始）
ｘ≠０の場合、
ｘｇ(ｘ)＝０,
の両辺をｘで割り算して、
ｇ（ｘ）＝０，
が得られる。
一方ｇ（ｘ）がｘ＝０の点で連続であれば、
ｘ→０のｇ（ｘ）の極限値がｇ（０）に等しい。
また、ｘｇ（ｘ）が恒等式であるので、ｘ≠０でｇ（ｘ）＝０。
そのため、ｘ→０でのｇ（ｘ）の値は、いつもｇ（ｘ）＝０である。
ゆえに、ｘ→０でのｇ（ｘ）の極限値は０である。
ｇ（ｘ）がｘ＝０で連続であるので、ｇ（０）＝０，
である。
ゆえに、
ｘの全ての値において、
ｇ（ｘ）＝０，
すなわち、この式は恒等式である。
（証明おわり）

（補足）
ｇ（ｘ）が整式（単項式や多項式）の場合には、ｇ（ｘ）は連続関数です。
ｓｉｎ(ｘ)やｃｏｓ(ｘ)も連続関数です。

リンク：
恒等式の定義
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