部分集合の概念の問題点

【部分集合の定義】
「集合 A が集合 B に含まれる」とき、つまり A⊂B のとき、集合 A は集合 B の部分集合(subset) といいます。

　少し変な書き方ですが A⊂A が成り立ちます。 A の要素は、すべて A に属しているからです。
（部分集合の定義おわり）

集合{1,2}
の部分集合を全て挙げると、
{1}
{2}
{1,2}
{}=Φ　空集合
という、
４つの部分集合があります。

《部分集合の集合》
部分集合の集合は、
上記の全ての集合を要素にした、集合の集合です。

【空集合の部分集合と、部分集合の集合】
例えば１個のリンゴ（リンゴａ）の集合は、
{リンゴａ}
ですが、
０個のリンゴの集合は、
{}=Φ 空集合です。
{}=Φ 空集合
の部分集合は
{}=Φだけです。
それ自身と同じです。

その（１つの）部分集合の集合(A集合と名付ける)は：
{{}}={Φ}
です。

A集合の部分集合は、
{{}}={Φ}と、
{}=Φ
との２つです。
ここで、
集合{Φ}は、Φという集合を１つの要素として持ちますが、
集合{}=Φは要素を１つも持ちません。
A集合の部分集合の集合(B集合と名付ける)は：
{{Φ},Φ}
です。

B集合の部分集合は、
{}=Φ,
{Φ}
{{Φ}}
{Φ,{Φ}}
との4つです。
B集合の部分集合の集合(C集合と名付ける)は：
{ Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}} }
です。

この様に、「部分集合」を作ると、要素が何も無いところから、
空集合=Φという１つの集合という１つの要素を生みだします。
その空集合＝Φは、しっかりと１つと数えられる要素になります。

この様に、「部分集合」を作る操作は、要素が何も無いところから、空集合＝Φという１つの要素を生み出して、それを１つの要素とする（要素が１つは有る）集合を生み出すという循環を生じるので要注意です。

「偶数でもあり、奇数でもある数の集合」＝空集合Φ,
です。
こう言ってしまうと、偶数でもあり、奇数でもある数が存在するかの印象を受けますが、そうでは無く、「空集合」と言った時点で、「あり得ない事」と判断すべきなのです。
あらゆる「あり得ない事象」を、空集合Φという表現手段を用いて表す事ができます。

例えば、
集合{1,2}
の部分集合には、 {}=Φ 空集合
がありましたが、
空集合は、「あり得ない事の集合」です。
「部分集合」の集合は、
「あり得ない事の集合」
を部分に含むという意味で、
「あり得ない事」を排除していないので、
問題の解をもつれさせて、単純な解を求めるのとは逆の方向に論理を進める事もできる手段と言えます。

集合{ {1},{2},{1,2},Φ }
の部分集合を全て挙げると、
{}=Φ
{{1}}
{{2}}
{{1,2}}
{Φ}
{{1},{2}}
{{1},{1,2}}
{{1},Φ}
{{2},{1,2}}
{{2},Φ}
{{1,2},Φ}
{ {2},{1,2},Φ }
{ {1},{1,2},Φ }
{ {1},{2},Φ }
{ {1},{2},{1,2}}
{ {1},{2},{1,2},Φ }
との１６個の部分集合があります。

空集合Φに係る集合を全部排除して問題を記述すると、以下の様に、問題の解がスッキリします。
集合{ {1},{2},{1,2} }
の、空集合Φ以外の部分集合を全て挙げると、
{{1}}
{{2}}
{{1,2}}
{{1},{2}}
{{1},{1,2}}
{{2},{1,2}}
{ {1},{2},{1,2}}
との７つの集合のみになって、解がスッキリします。
「部分集合」の集合を使って問題を解く場合は、「部分集合」から空集合を除外した集合を考えると、それは、問題を解くために使いものになる手段になると思います。

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