部分集合の概念の問題点

【部分集合の定義】
「集合 A の要素が全て集合 B の要素になっている」とき、つまり A⊂B のとき、集合 A は集合 B の部分集合(subset) といいます。

　少し変な書き方ですが A⊂A が成り立ちます。 A の要素は、すべて A に属しているからです。
（部分集合の定義おわり）

【部分集合の定義（集合の包含関係による）】
定義 1.5 (集合の包含関係)
元を１つも含まない集合を空集合（empty set）といい， X=Φと表記する．
集合 ＸとＹに含まれる元が全て等しいとき Ｘ＝Ｙと表記する．Ｘ＝Ｙではないとき Ｘ≠Ｙと書く．
Ｘに含まれる全ての元（Xが１つ以上の元を持つ場合）がＹに含まれるとき（あるいは、Xが元を持たない場合も）， Ｙは Ｘを含む（contain）， または，ＸはＹの部分集合（subset）といい，Ｘ⊂Ｙと表記する．Ｘ ⊂Ｙ ではないとき Ｘ ⊄ Ｙと書く．

注意 1.6 (真部分集合) Ｘ⊂Ｙは定義より Ｘ＝Ｙの意味も含む．Ｘ⊂Ｙ でありかつ Ｘ≠Ｙのときは， ＸはＹの真部分集合（proper subset）という． 書物によっては部分集合に を用い， 真部分集合に ⊂を用いる場合もあるので注意が必要である．

（補足）
ある集合Bとある集合Cが共通の元を持たない場合、
B∩C＝Φ,
という集合Φ（空集合）を定義する.

いかなる集合BとCに対しても、
（B∩C）⊂B,
が成り立つものとして、集合の包含関係を定義する.

空集合ではないどの集合Bに対しても、共通の元を持たない集合Cが存在する。（少なくとも集合Φは集合Bと共通の元を持たない）
その場合に、
B∩C＝Φ,

B∩C＝Φ,
の場合も、
（B∩C）⊂B,
∴　Φ⊂B,

　先の、２つの、部分集合の定義がおかしいと思う。以下のように定義しないといけないと思う。
【部分集合の正しい定義】
全ての集合の元ｘに対して、
「その元ｘが集合Ａに含まれる場合に、元ｘが集合Ｂに含まれる」
が成り立っているならば、
集合Ｂは 集合Ａを含む（contain）， または，集合Ａは集合Ｂの部分集合（subset）といい，Ａ⊂Ｂと表記する．
（部分集合の定義おわり）

《補足》
　命題の前提条件を何にするかによって、命題の対偶の表現も変わってくる。そのため、命題の前提条件を何にするかが大事である。

部分集合の関係「 A⊂B」とは：
「 全ての集合の元ｘに対して：　x∈Aが成り立つならば ⟹ x∈B 」
それを言い換えると：
「全ての集合の元ｘに対して：　(x∉A）または (x∈B)である」
これがどのような元ｘを持つ集合Ｂに対しても成り立つ集合Aとは、
「全ての集合の元ｘに対して：　(x∉A）」
となる集合であり、
集合A＝Φ（空集合）
がそれに該当する。
よって、
Φ（空集合）は、どのような集合Ｂに対しても
Φ⊂B
が成り立つ。

集合{1,2}
の部分集合を全て挙げると、
{1}
{2}
{1,2}
{}=Φ　空集合
という、
４つの部分集合があります。

《部分集合の集合》
部分集合の集合は、
上記の全ての集合を要素にした、集合の集合です。

【空集合の部分集合と、部分集合の集合】
例えば１個のリンゴ（リンゴａ）の集合は、
{リンゴａ}
ですが、
０個のリンゴの集合は、
{}=Φ 空集合です。
{}=Φ 空集合
の部分集合は
{}=Φだけです。
それ自身と同じです。

その（１つの）部分集合の集合(A集合と名付ける)は：
{{}}={Φ}
です。

A集合の部分集合は、
{{}}={Φ}と、
{}=Φ
との２つです。
ここで、
集合{Φ}は、Φという集合を１つの要素として持ちますが、
集合{}=Φは要素を１つも持ちません。
A集合の部分集合の集合(B集合と名付ける)は：
{{Φ},Φ}
です。

B集合の部分集合は、
{}=Φ,
{Φ}
{{Φ}}
{Φ,{Φ}}
との4つです。
B集合の部分集合の集合(C集合と名付ける)は：
{ Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}} }
です。

この様に、「部分集合」を作ると、要素が何も無いところから、
空集合=Φという１つの集合という１つの要素を生みだします。
その空集合＝Φは、しっかりと１つと数えられる要素になります。

この様に、「部分集合」を作る操作は、要素が何も無いところから、空集合＝Φという１つの要素を生み出して、それを１つの要素とする（要素が１つは有る）集合を生み出すという循環を生じるので要注意です。

「偶数でもあり、奇数でもある数の集合」＝空集合Φ,
です。
こう言ってしまうと、偶数でもあり、奇数でもある数が存在するかの印象を受けますが、そうでは無く、「空集合」と言った時点で、「あり得ない事」と判断すべきなのです。
あらゆる「あり得ない事象」を、空集合Φという表現手段を用いて表す事ができます。

例えば、
集合{1,2}
の部分集合には、 {}=Φ 空集合
がありましたが、
空集合は、「あり得ない事の集合」です。
「部分集合」の集合は、
「あり得ない事の集合」
を部分に含むという意味で、
「あり得ない事」を排除していないので、
問題の解をもつれさせて、単純な解を求めるのとは逆の方向に論理を進める事もできる手段と言えます。

集合{ {1},{2},{1,2},Φ }
の部分集合を全て挙げると、
{}=Φ
{{1}}
{{2}}
{{1,2}}
{Φ}
{{1},{2}}
{{1},{1,2}}
{{1},Φ}
{{2},{1,2}}
{{2},Φ}
{{1,2},Φ}
{ {2},{1,2},Φ }
{ {1},{1,2},Φ }
{ {1},{2},Φ }
{ {1},{2},{1,2}}
{ {1},{2},{1,2},Φ }
との１６個の部分集合があります。

空集合Φに係る集合を全部排除して問題を記述すると、以下の様に、問題の解がスッキリします。
集合{ {1},{2},{1,2} }
の、空集合Φ以外の部分集合を全て挙げると、
{{1}}
{{2}}
{{1,2}}
{{1},{2}}
{{1},{1,2}}
{{2},{1,2}}
{ {1},{2},{1,2}}
との７つの集合のみになって、解がスッキリします。
「部分集合」の集合を使って問題を解く場合は、「部分集合」から空集合を除外した集合を考えると、それは、問題を解くために使いものになる手段になると思います。

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