玉を取り出す色の組み合わせ毎の玉の組み合わせの数

 【問１】
　赤玉３個、白玉３個、黒玉３個、計９個の玉が入った袋がある。この袋から同時に玉を３個取り出す。そうして取り出した３個の玉の色の組み合わせ毎に、その色の組み合わせの玉を選ぶ組み合わせの数を求めよ。

【解答】
（１）先ず、袋の中の９個の玉から３個の玉を取り出す場合の、３個の玉の組み合わせの総数は、

通りある。
すなわち、３つの玉の組合せを表す事象の連鎖の糸の総数が８４本ある。

（２）次に、取り出した３個の玉の色分けのバラエティを、赤ｍ個、白ｎ個、黒ｔ個という色分け事象の連鎖で表す。そして、総数８４本の事象の連鎖の糸を、その色分け事象の連鎖で分類した枝に分けて束ねる。すなわち、玉の色分け事象の連鎖の枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を束ねて編集した以下の樹形図を作成する。

この樹形図から、玉の色の組み合わせのバラエティの数（色分け事象の連鎖の数）は１０通りあることがわかる。

　しかし、各々の玉の色分けの枝（色分け事象の連鎖）に対応する玉の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
（２－１）３つの玉の色が全て同じ色の場合（１色）の枝は、３つの色から、その１つの色を選ぶ色のバラエティの３つの色の枝に分岐する。
　その各色毎の枝における、その色の玉を３つ選ぶバラエティの数は、その色の３つの玉全部を選ぶ数であり、１つのみの組み合わせの数になる。
（２－２）３つの玉の色が２色の場合の枝は、２つの同じ色の玉を選ぶ第１の色を選ぶバラエティの数の３と、１つの玉を選ぶ第２の色を選ぶバラエティの数の２との積の、６つの色分布の枝に分岐する。
　その色分布の各枝毎の、３個の玉を選ぶバラエティの数は、①第１の色の２つの玉を、第１の色の３つの玉から選ぶバラエティの数である３と、②第２の色の１つの玉を第２の色の３つの玉から選ぶバラエティの数である３との積の、９つのバラエティの数になる。
（２－３）３つの玉の色が全て異なる場合の枝は、色の偏りが無いので、その色のバラエティの数が１つだけなので、１つの色分布の枝に分岐する。
　その色分布の枝の、玉を選ぶバラエティの数は、赤玉３つから１つを選ぶバラエティの数の３と、白玉３つから１つを選ぶバラエティの数の３と、黒玉３つから１つを選ぶバラエティの数の３との積の、２７のバラエティの数になる。
（３）このように、玉の色分布の枝毎に、その色分布を生じる３つの玉を選ぶバラエティの数が異なる。
（解答おわり）
　この解の結果、以下の式が成り立つのも不思議なことである。


【問２】
　赤玉３個、白玉３個、黒玉３個、計９個の玉が入った袋の中から、同時に３個の玉を取り出したとき、そのうち少なくとも１個が白玉である玉の組み合わせの数を、同じ色の玉でも玉を区別した、取り出した３つの玉の組み合わせの数を求めよ。

《解答の基本》
　玉を選ぶ組み合わせの数の問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方である。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。その個性のある個々の玉に係わる計算によって問題を解くべき。
(2)計算は、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて行うべき。

【解答１】
　９つの全ての玉を、赤１、赤２、赤３、白１、白２、白３、黒１、黒２、黒３と名付ける。
（１）少なくとも白１が含まれる玉の組み合わせの数は、
その組み合わせを限定する白１以外の他の８つの玉から２つの玉を選ぶあらゆる組み合わせの数の、
_８Ｃ_２
である。
（２）白１は含まず、少なくとも白２を含む玉の組み合わせの数は、
その組み合わせを限定する白１と白２以外の他の７つの玉から２つの玉を選ぶあらゆる組み合わせの数の、
_７Ｃ_２
である。
（３）白１は含まず、白２は含まず、白３を含む玉の組み合わせの数は、
その組み合わせを限定する白１と白２と白３以外の他の６つの玉から２つの玉を選ぶあらゆる組み合わせの数の、
_６Ｃ_２
である。
（４）以上の組み合わせの数の合計が、
少なくとも１個が白玉である玉の組み合わせについて、同じ色の玉でも玉を区別した場合の、玉の組み合わせの数であり、その数は、
_８Ｃ_２＋_７Ｃ_２＋_６Ｃ_２
である。
（解答おわり）

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