３色の玉を持つ３つの箱から玉を１つずつ取り出す問題

 【課題１】
　赤玉１個、白玉１個、黒玉１個、計３個の玉が入った箱Aと箱Bと箱Cがある。この３つの箱から１つずつ、合わせて３個の玉を取り出す。取り出した３個の玉の色の組み合わせ毎に、その色の組み合わせの玉を各箱から取り出すバラエティの数を求める。

【解答】
（１）先ず、３個の玉が入った３つの箱から１つずつ玉を取り出す場合の数の総数は、

通りある。
すなわち、３つの箱から玉を１つずつ取り出す事象の連鎖の糸の総数が２７本ある。

（２）次に、取り出した３個の玉の色分けのバラエティの２７個の事象の連鎖の糸を、赤ｍ個、白ｎ個、黒ｔ個という色分け事象の連鎖の種類で分類した枝に束ねる。すなわち、玉の色分け事象の連鎖の枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を割り当てて編集した以下の樹形図を作成する。

この樹形図から、玉の色の組み合わせのバラエティの数（色分け事象の連鎖の数）は１０通りあることがわかる。

　しかし、各々の玉の色分けの枝（色分け事象の連鎖）に対応する玉の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
（２－１）３つの玉の色が全て同じ色の場合は、その色を選ぶバラエティの数の３つの枝に分岐する。
　その色分布の枝毎の、各箱からその色の玉を取り出すバラエティの数は、１つだけである。
（２－２）３つの玉の色が２色の場合の枝は、同じ色の２つの玉の第１の色を選ぶバラエティの数の３と、その他の２つの色から、１つの玉の第２の色を選ぶバラエティの数の２との積の、６つの枝に分岐する。
　その色分布の枝毎の、その色の組み合わせの玉を３つの箱から取り出すバラエティの数は、第２の色の１つの玉をどの箱から取り出すかのバラエティの数であり、３である。
（２－３）３つの玉の色が３色の場合の枝は、色の偏りが無いので、その色のバラエティの数が１つだけなので、１つの枝に分岐する。
　その色分布の枝毎の、その色の組み合わせの玉を３つの箱から取り出すバラエティの数は、赤色玉をどの箱から取り出すかのバラエティの数３と、白色玉を残り２つのどの箱から取り出すかかのバラエティの数２との積であり、６である。
（３）なお、各枝毎の、各箱の玉の色の組み合わせの数は、上図に記載した式(x+y+z)^3を展開した各項の係数に対応する関係がある。
（解答おわり）

（補足）
　この問題は、３つの箱を３人の人に置き替えて、玉の３つの色を、人を組み分ける３つの組の名前、すなわち、赤組、白組、黒組に置き換えた問題と等価である。

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