【問】下図の直角三角錐の斜面の三角形ＡＢＣの面積Ｓを計算せよ。
【解答】
（三角形ABCの面に垂直な法線ベクトルを導き出す）
三角形ＡＢＣを含む面の方程式は以下の式で表せます。
この式は、三角形を含む平面上の位置ベクトル（X,Y,Z)と他のベクトルの内積を表す以下の式です。
この式から、三角形を含む平面上の２つの位置を結ぶベクトル（その位置ベクトルの差）と所定ベクトルの内積が、いつでも０になる、以下の式が成り立ちます。
この式は、この所定ベクトルが三角形を含む平面に垂直である事を示しています。よって、この所定ベクトルが面ＡＢＣの法線ベクトルであることがわかります。
３次元の立体上の三角形ＡＢＣの面積は、ＸＹ平面上の三角形ＡＢＯを（１／ｃｏｓθ）倍に逆射影して計算することができます。
（４平方の定理）
この計算の途中で、以下の式であらわされる、
直角三角錐の３面の、直角三角形の面積の２乗の和が、直角三角錐の斜面の三角形の面積の２乗になるという、
ピタゴラスの定理に類似した公式（４平方の定理）が成り立っている。
《４平方の定理》
と表現することができる。
そうして、以下の式で計算できる。
（面積はベクトルで表現できる）
４平方の定理が意味することは、空間における三角形の面積はベクトルで表現できるということを意味する。
(1)三角形の面積のＸＹ平面への正射影は、ベクトルであらわした面積ベクトルのＺ軸方向成分であり、
(2)三角形の面積のＹＺ平面への正射影は、ベクトルであらわした面積ベクトルのＸ軸方向成分であり、
(3)三角形の面積のＺＸ平面への正射影は、ベクトルであらわした面積ベクトルのＹ軸方向成分である。
（平行四辺形の面積の計算）
以下で、大学レベル以上での、２つのベクトルの張る平行四辺形の面積をベクトルで分解して計算する方法を書きます。
以下の考察の結論は、平行四辺形の面積は、ベクトルの演算によってあらわせるということです。
そのベクトルの演算が、ベクトルの外積を意味します。
以下の内容は大学生でも理解が難しい事も含まれていると思いますので、理解出来なくても気にしないで下さい。
平行四辺形を張るベクトルを要素に分解して要素のベクトルの張る平行四辺形の面積計算し、その要素の平行四辺形の面積を合計して元のベクトルの張る平行四辺形の面積を計算します。
以下のように、座標系が回転しても結果が変わらないように面積の計算規則を定める点がポイントです。
Ｘ座標軸を反時計まわりに９０°回転させてＹ座標軸に重ねると、Ｙ座標軸は反時計まわりに９０°回転してＸ座標軸の負の方向を向いて重なる。そのため、ＸベクトルとＹベクトルの張る（ベクトルの順と成す角の向きを考えた）平行四辺形の面積を正にした場合、このように座標を回転させても面積が変わらないようにするには、必然的に、ベクトルの順と成す角の向きを考えた、Ｙベクトルと、Ｘ方向の負の方向を向いたベクトルの張る平行四辺形の面積を正にする必要がある。それは、ＹベクトルとＸ方向の正の方向を向いたベクトルの張る平行四辺形の面積を負にしなければならない事を意味する。
下図の様に、ベクトルＡとＢが平行な場合にベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形の面積は０である。
その平行四辺形の面積を、ベクトルＡとＢをそれぞれ、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの和で表し、その和のベクトルＡとＢの積を、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの積の和に展開して、以上で定めた計算規則に従って計算すると、その計算結果も０になる。
また、同じ方向を向くベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形は、その平行四辺形を回転させてどの方向を向かせても、同じ０の値の面積が計算できる。
平行四辺形を張るベクトルＡ及びＢをＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルに分解すると、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る平行四辺形が４個できる。その４個のうち２つの平行四辺形は、同じ方向のベクトルの張るつぶれた平行四辺形であり、その面積が０なので無視できる。
そして、その４個の平行四辺形の面積の和で、ベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積を計算したい。
上の例では、少なくとも面積が０のつぶれた平行四辺形の面積の計算では、その０の面積が、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る４個の平行四辺形の和と同じになる演算ができる様になった。
次に、下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積を、同じ面積を維持するように高さを保たせて変形した平行四辺形にして面積を求める手法を、ベクトルＡを分解したベクトルとベクトルＢとの積の和を計算する手法に対応させて面積を計算する。
上図の、平行四辺形の変形と分解操作に対応するベクトルの積の式の分解操作の計算が以下の式であらわせる。
式０の様に、ベクトルＡとベクトルＢの（順番を考えた）積はそのベクトルＡを分解した各ベクトルとベクトルＢの張る各平行四辺形の面積の和に対応付けられる。
すなわち：
（ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さ）×（ベクトルＢの長さ）
が平行四辺形の面積を表す。
一方、ベクトルＡを分解して、
ベクトルＡ＝ベクトルＡ１＋ベクトルＡ２
とすると：
ベクトルＡ１のベクトルＢに対する垂直成分の長さと、
ベクトルＡ２のベクトルＢに対する垂直成分の長さの和は、
ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さに等しい。
そのため、
ベクトルＡとベクトルＢが張る平行四辺形の面積
＝（ベクトルＡ１とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
＋（ベクトルＡ２とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
の関係が成り立つ。
その関係は、
ベクトルＡ×ベクトルＢ
＝（ベクトルＡ１×ベクトル Ｂ）
＋（ベクトルＡ２×ベクトルＢ）
に分解した式で表すことができる。
すなわち、ベクトルが張る平行四辺形の面積についての分配法則に対応して、ベクトルの加法と（ベクトルの順番を考えた）乗法についての分配法則が共に成り立っている。
また、上図の様に、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形を、
その平行四辺形を構成する２番目のベクトルＢを、ベクトルＡのｋ倍のベクトルを加えて、ベクトルＡに対する高さを保たせて歪めたベクトルＢ２に変える。
そうして、ベクトルＡとベクトルＢ２の張る平行四辺形を考える。
その場合、以下の式が成り立つ。
ベクトルの加法と乗法についての分配法則により、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２
＝（ベクトルＡ×ベクトルＢ）
＋（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
と表すことができる。
ここで、
（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
は面積が０のつぶれた平行四辺形をあらわしているので、その面積は０である。
それゆえ、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２＝ベクトルＡ×ベクトルＢ
が成り立つ。
この式は、底辺の長さが同じで高さが等しい平行四辺形の面積が等しい事実と一致している。
この様に、平行四辺形の面積を表すベクトルの加法と乗法の分配法則が、変形した平行四辺形の面積の法則と一致して、成り立っている。
以上の演算規則で定めた、Ｘ座標方向の単位ベクトルとＹ座標方向の単位ベクトルが作る平行四辺形の面積の符号に合わせて、エディントンの計算記号εｍｐを定める。
それにより、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る４個の平行四辺形の面積の和は、
∑(ｍ=1,2; ｐ=1,2) ｛εｍｐａｍｂｐ｝＝ａ１ｂ２－ａ２ｂ１
で表せる。
この面積の和が、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積である。
（３次元空間の平行四辺形の面積を３次元ベクトルであらわす：ベクトルの外積）
３次元のベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積が３次元ベクトルＣであらわせる。
ベクトルＣを、（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３）とする。
ベクトルＣの各成分の、r=1,2,3 について、
３次元ベクトルＡの分解されたベクトルと、ベクトルＢの分解されたベクトルの成分の積の組み合わせが作る平行四辺形の面積の和を計算する。
その和は、
エディントンの３次元の計算記号εｒｍｐを使って、
Cr＝ ∑(m=1,2,3; p=1,2,3) ｛εrmｐAｍBｐ｝
であらわせる。
（この計算規則が、ベクトルＡとベクトルＢの外積の計算規則である）
この計算に利用する３次元の（３階の）計算記号εｍｐｒは、テンソルと呼ばれる。
エディントンの３次元の計算記号εｍｐｒの値を定める規則は単純であり、
(1) εｒｍｐの添え字の値のどれかが等しければ、その値が０であり、
(2) また、
ε１２３＝１であり、
(3) εｒｍｐの任意の２つの添え字を入れ替えると、その値な正負の符号が変わる。
という規則に従って、全てのεｒｍｐの値が定まる。
すなわち εｒｍｐは、ｍ＝ｐ or ｍ＝ｒ or ｐ＝ｒの場合に、
εｒｍｐ＝０
であり、
ｍ≠ｐ、ｍ≠ｒ、ｐ≠ｒの場合に、
ε１２３＝ε２３１＝ε３１２＝１
であり、
上の要素の座標の添え字を入れ替えた場合の、
ε２１３＝ε３２１＝ε１３２＝－１
という様に値を負にする。
なお、以下の様に添え字を入れ替えていくと、
ε２３１＝ーε２１３＝ε１２３＝１
と変換して値が求められる。
そのように、３階のエディントンの計算記号εｍｐｒを定めて用いる事で、ベクトルＡとＢが張る３次元の平行四辺形の面の面積が、ベクトルＡとベクトルＢの外積で計算される３次元ベクトルＣであらわせる。
【外積の具体的計算規則】
ベクトルの計算は、下の図のように、ベクトルを縦ベクトルであらわして計算します。
この形にすれば、ベクトルの外積は以下のように計算しやすくなります。
ここで、ベクトルの一番下のＺ成分を一番上のＸ成分の更に上にも書いて、外積の計算を記憶に頼らず計算できるように工夫します。
そして、計算した結果のベクトルを面の法線ベクトルとして使う場合は、使いやすいようにベクトルを単純化します。
【外積の演算を簡単にする工夫】
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【解答】
（三角形ABCの面に垂直な法線ベクトルを導き出す）
三角形ＡＢＣを含む面の方程式は以下の式で表せます。
この式は、三角形を含む平面上の位置ベクトル（X,Y,Z)と他のベクトルの内積を表す以下の式です。
この式から、三角形を含む平面上の２つの位置を結ぶベクトル（その位置ベクトルの差）と所定ベクトルの内積が、いつでも０になる、以下の式が成り立ちます。
この式は、この所定ベクトルが三角形を含む平面に垂直である事を示しています。よって、この所定ベクトルが面ＡＢＣの法線ベクトルであることがわかります。
３次元の立体上の三角形ＡＢＣの面積は、ＸＹ平面上の三角形ＡＢＯを（１／ｃｏｓθ）倍に逆射影して計算することができます。
（４平方の定理）
この計算の途中で、以下の式であらわされる、
直角三角錐の３面の、直角三角形の面積の２乗の和が、直角三角錐の斜面の三角形の面積の２乗になるという、
ピタゴラスの定理に類似した公式（４平方の定理）が成り立っている。
《４平方の定理》
と表現することができる。
そうして、以下の式で計算できる。
（面積はベクトルで表現できる）
４平方の定理が意味することは、空間における三角形の面積はベクトルで表現できるということを意味する。
(1)三角形の面積のＸＹ平面への正射影は、ベクトルであらわした面積ベクトルのＺ軸方向成分であり、
(2)三角形の面積のＹＺ平面への正射影は、ベクトルであらわした面積ベクトルのＸ軸方向成分であり、
(3)三角形の面積のＺＸ平面への正射影は、ベクトルであらわした面積ベクトルのＹ軸方向成分である。
（平行四辺形の面積の計算）
以下で、大学レベル以上での、２つのベクトルの張る平行四辺形の面積をベクトルで分解して計算する方法を書きます。
以下の考察の結論は、平行四辺形の面積は、ベクトルの演算によってあらわせるということです。
そのベクトルの演算が、ベクトルの外積を意味します。
以下の内容は大学生でも理解が難しい事も含まれていると思いますので、理解出来なくても気にしないで下さい。
平行四辺形を張るベクトルを要素に分解して要素のベクトルの張る平行四辺形の面積計算し、その要素の平行四辺形の面積を合計して元のベクトルの張る平行四辺形の面積を計算します。
以下のように、座標系が回転しても結果が変わらないように面積の計算規則を定める点がポイントです。
下図の様に、ベクトルＡとＢが平行な場合にベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形の面積は０である。
その平行四辺形の面積を、ベクトルＡとＢをそれぞれ、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの和で表し、その和のベクトルＡとＢの積を、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの積の和に展開して、以上で定めた計算規則に従って計算すると、その計算結果も０になる。
平行四辺形を張るベクトルＡ及びＢをＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルに分解すると、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る平行四辺形が４個できる。その４個のうち２つの平行四辺形は、同じ方向のベクトルの張るつぶれた平行四辺形であり、その面積が０なので無視できる。
そして、その４個の平行四辺形の面積の和で、ベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積を計算したい。
上の例では、少なくとも面積が０のつぶれた平行四辺形の面積の計算では、その０の面積が、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る４個の平行四辺形の和と同じになる演算ができる様になった。
次に、下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積を、同じ面積を維持するように高さを保たせて変形した平行四辺形にして面積を求める手法を、ベクトルＡを分解したベクトルとベクトルＢとの積の和を計算する手法に対応させて面積を計算する。
すなわち：
（ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さ）×（ベクトルＢの長さ）
が平行四辺形の面積を表す。
一方、ベクトルＡを分解して、
ベクトルＡ＝ベクトルＡ１＋ベクトルＡ２
とすると：
ベクトルＡ１のベクトルＢに対する垂直成分の長さと、
ベクトルＡ２のベクトルＢに対する垂直成分の長さの和は、
ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さに等しい。
そのため、
ベクトルＡとベクトルＢが張る平行四辺形の面積
＝（ベクトルＡ１とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
＋（ベクトルＡ２とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
の関係が成り立つ。
その関係は、
ベクトルＡ×ベクトルＢ
＝（ベクトルＡ１×ベクトル Ｂ）
＋（ベクトルＡ２×ベクトルＢ）
に分解した式で表すことができる。
すなわち、ベクトルが張る平行四辺形の面積についての分配法則に対応して、ベクトルの加法と（ベクトルの順番を考えた）乗法についての分配法則が共に成り立っている。
その平行四辺形を構成する２番目のベクトルＢを、ベクトルＡのｋ倍のベクトルを加えて、ベクトルＡに対する高さを保たせて歪めたベクトルＢ２に変える。
そうして、ベクトルＡとベクトルＢ２の張る平行四辺形を考える。
その場合、以下の式が成り立つ。
ベクトルの加法と乗法についての分配法則により、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２
＝（ベクトルＡ×ベクトルＢ）
＋（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
と表すことができる。
ここで、
（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
は面積が０のつぶれた平行四辺形をあらわしているので、その面積は０である。
それゆえ、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２＝ベクトルＡ×ベクトルＢ
が成り立つ。
この式は、底辺の長さが同じで高さが等しい平行四辺形の面積が等しい事実と一致している。
この様に、平行四辺形の面積を表すベクトルの加法と乗法の分配法則が、変形した平行四辺形の面積の法則と一致して、成り立っている。
以上の演算規則で定めた、Ｘ座標方向の単位ベクトルとＹ座標方向の単位ベクトルが作る平行四辺形の面積の符号に合わせて、エディントンの計算記号εｍｐを定める。
∑(ｍ=1,2; ｐ=1,2) ｛εｍｐａｍｂｐ｝＝ａ１ｂ２－ａ２ｂ１
で表せる。
この面積の和が、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積である。
（３次元空間の平行四辺形の面積を３次元ベクトルであらわす：ベクトルの外積）
３次元のベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積が３次元ベクトルＣであらわせる。
ベクトルＣを、（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３）とする。
ベクトルＣの各成分の、r=1,2,3 について、
３次元ベクトルＡの分解されたベクトルと、ベクトルＢの分解されたベクトルの成分の積の組み合わせが作る平行四辺形の面積の和を計算する。
その和は、
エディントンの３次元の計算記号εｒｍｐを使って、
Cr＝ ∑(m=1,2,3; p=1,2,3) ｛εrmｐAｍBｐ｝
であらわせる。
（この計算規則が、ベクトルＡとベクトルＢの外積の計算規則である）
この計算に利用する３次元の（３階の）計算記号εｍｐｒは、テンソルと呼ばれる。
エディントンの３次元の計算記号εｍｐｒの値を定める規則は単純であり、
(1) εｒｍｐの添え字の値のどれかが等しければ、その値が０であり、
(2) また、
ε１２３＝１であり、
(3) εｒｍｐの任意の２つの添え字を入れ替えると、その値な正負の符号が変わる。
という規則に従って、全てのεｒｍｐの値が定まる。
すなわち εｒｍｐは、ｍ＝ｐ or ｍ＝ｒ or ｐ＝ｒの場合に、
εｒｍｐ＝０
であり、
ｍ≠ｐ、ｍ≠ｒ、ｐ≠ｒの場合に、
ε１２３＝ε２３１＝ε３１２＝１
であり、
上の要素の座標の添え字を入れ替えた場合の、
ε２１３＝ε３２１＝ε１３２＝－１
という様に値を負にする。
なお、以下の様に添え字を入れ替えていくと、
ε２３１＝ーε２１３＝ε１２３＝１
と変換して値が求められる。
そのように、３階のエディントンの計算記号εｍｐｒを定めて用いる事で、ベクトルＡとＢが張る３次元の平行四辺形の面の面積が、ベクトルＡとベクトルＢの外積で計算される３次元ベクトルＣであらわせる。
【外積の具体的計算規則】
ベクトルの計算は、下の図のように、ベクトルを縦ベクトルであらわして計算します。
【外積の演算を簡単にする工夫】
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