複素数平面とは、
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面であり、その平面上の点で複素数をあらわす平面です。
上図のように、例えば、ｉや、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。
この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例 |ｉ|＝１
この図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。
複素数ｚが、０と１を結ぶ線分から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｚを他の複素数ｗに掛け算した答えの複素数ｓは、０と複素数ｗを結ぶ直線を、０を中心にして角度θ回転した直線上にあります。
０と複素数ｚを結ぶ線分が０と１を結ぶ線分と成す角度θを偏角と呼び、ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
なお、複素数ｓの絶対値は複素数ｗの絶対値と複素数ｚの絶対値を掛け算した値になります。
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
これが成り立つということを覚えてください。
ｓ＝ｚ・ｚ
というように、複素数ｚを２乗して複素数ｓを計算する場合を考えます。
先ず、各複素数の偏角を以下のように名づけておきます。
ａｒｇ（ｓ）≡β
ａｒｇ（ｚ）≡θ
これらを使って各複素数が以下のようにあらわせます（複素数の極形式での表示）。
ｓ＝|ｓ|ｃｏｓ（β）＋|ｓ|ｓｉｎ（β）・ｉ
ｚ＝|ｚ|ｃｏｓ（θ）＋|ｚ|ｓｉｎ（θ）・ｉ
その複素数の掛け算ｓ＝ｚの２乗の場合には、以下の公式が成り立ちます。
β＝ａｒｇ（ｓ）＝２ａｒｇ（ｚ）＝２θ， （式１）
|ｓ|＝|ｚ|・|ｚ|， （式２）
以下で、複素数ｚの２乗を計算して、その結果を複素数ｓと比較する。
ここで、２倍角の定理との関係を分かり易くするため、複素数ｚの絶対値の
|ｚ|＝|ｓ|＝１
とする。
複素数ｚの２乗と、それに等しい複素数ｓとは、その実数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導き、更に、その虚数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導きます。それにより、以下の２つの関係式が導き出せます。
上の式４がｃｏｓの２倍角の公式であり、式５がｓｉｎの２倍角の公式です。
三角関数の２倍角の公式を以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き出し方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。
リンク：
高校数学の目次
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面であり、その平面上の点で複素数をあらわす平面です。
上図のように、例えば、ｉや、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。
この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例 |ｉ|＝１
この図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。
複素数ｚが、０と１を結ぶ線分から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｚを他の複素数ｗに掛け算した答えの複素数ｓは、０と複素数ｗを結ぶ直線を、０を中心にして角度θ回転した直線上にあります。
０と複素数ｚを結ぶ線分が０と１を結ぶ線分と成す角度θを偏角と呼び、ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
なお、複素数ｓの絶対値は複素数ｗの絶対値と複素数ｚの絶対値を掛け算した値になります。
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
これが成り立つということを覚えてください。
ｓ＝ｚ・ｚ
というように、複素数ｚを２乗して複素数ｓを計算する場合を考えます。
先ず、各複素数の偏角を以下のように名づけておきます。
ａｒｇ（ｓ）≡β
ａｒｇ（ｚ）≡θ
これらを使って各複素数が以下のようにあらわせます（複素数の極形式での表示）。
ｓ＝|ｓ|ｃｏｓ（β）＋|ｓ|ｓｉｎ（β）・ｉ
ｚ＝|ｚ|ｃｏｓ（θ）＋|ｚ|ｓｉｎ（θ）・ｉ
その複素数の掛け算ｓ＝ｚの２乗の場合には、以下の公式が成り立ちます。
β＝ａｒｇ（ｓ）＝２ａｒｇ（ｚ）＝２θ， （式１）
|ｓ|＝|ｚ|・|ｚ|， （式２）
以下で、複素数ｚの２乗を計算して、その結果を複素数ｓと比較する。
ここで、２倍角の定理との関係を分かり易くするため、複素数ｚの絶対値の
|ｚ|＝|ｓ|＝１
とする。
複素数ｚの２乗と、それに等しい複素数ｓとは、その実数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導き、更に、その虚数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導きます。それにより、以下の２つの関係式が導き出せます。
上の式４がｃｏｓの２倍角の公式であり、式５がｓｉｎの２倍角の公式です。
三角関数の２倍角の公式を以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き出し方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。
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