【命題と条件の定義】
《命題とは》
真偽(真であるか偽であるか)が判定されうる文を 命題という.
論理的にスッキリと真か偽かが判定できる文だけを命題と呼ぶのです.
また、命題の説明には、以下の注意が必要です。
論理式：
ｘ>3 ⇒ x>4
は、命題ですが、この命題は、
正しくは、
「全ての実数ｘに関して、ｘ>3 ⇒ x>4」
という論理式です。
その論理式は、
「全ての実数ｘに関して、x≦3 or x>4」
と等価です。
この論理式は偽です。
すなわち、
「全ての実数ｘに関して、ｘ>3 ⇒ x>4」
という論理式、又は、
それに同値な論理式：
「全ての実数ｘに関して、x≦3 or x>4」
は必ず偽ですので、命題です。
p(x)⇒q(x)
という命題は、
正しくは、
「全ての実数ｘに関して、p(x)⇒q(x)」
という命題です。
命題には、「どのバラエティにおいても、」とか、「全ての実数ｘに関して、」という隠された条件が、暗黙に加えられている。
その隠された条件が付いているので、命題は、
「全ての実数ｘに関して、(p(x)で無い)∨(q(x)である)」
という論理式であらわされる命題と同値です。
「どのバラエティにおいても、」とか、「全ての実数ｘに関して、」という隠された条件が付かずに、
単に、「(p(x)で無い)∨(q(x)である)」
という論理式だけであらわされている論理式は、
次に説明する「条件」であって、命題にはならない。
「全ての実数ｘに関して、」という隠された条件が付かずに、
単に、「p(x)⇒q(x)」
という論理式だけであらわされている論理式も、同じく、
「条件」であって、命題にはならない。
《条件とは》
真であるか偽であるかが判定できる“命題”に対し,特に数学によく現れる方程式
x2-x-6=0
や
x+y=12
のように,その中にxやyなどの文字が含まれているため,それ自身としては真とも偽とも判定できないが,その中に現れる文字に特定の値を代入すると,真か偽かが決まるものがある.
例１
x2ーxー6=0は,
x=2のときは偽,
x=3のときは真.
このように,中に含まれている文字に値を代入すると,真か偽が確定する(つまり命題になる)文を条件という.
より詳しく,“xについての条件”とか“xとyについての条件”などということもある.
《大学数学によって厳密に説明すると》
「命題論理とは何か」のサイトによると：
命題と命題変数
記号論理学には命題論理（propositional logic）と述語論理（predicate logic）の2つの分野があります。述語論理は命題論理の拡張であるため、まずは命題論理について解説します。
命題論理における議論の最小単位は命題（proposition）です。
命題とは、物事の判断について述べた文や式で、正しいか正しくないかを客観的に判断できるもののことです。
ある主張の内容が難解で、それが真と偽のどちらであるか判断を下せない場合があります。そのような場合でも、その真偽の判定を客観的に行えることが保証されているのであれば、その主張はやはり命題とみなされます。いくつか例を挙げます。
「整数ｘは偶数である」という主張は、
ｘがどの整数であるかが特定されない限りその正しさを判定できないため、これは命題ではありません。
一方、「整数１４は偶数である」は真な命題です。
命題論理では個々の命題が具体的に何について言及しているかを問題とせず、それらを単に真か偽のどちらかの値をとる変数とみなします。そして、そのような変数を命題変数（proposition variable）と呼びます。
命題論理において議論の対象となる論理的な主張や推論はいずれも、命題変数どうしを組み合わせることにより得られる式として表現されますが、そのような式を論理式（formula）や命題論理式（propositional formula）などと呼びます。
論理式については後ほど正確に定義しますが、最も重要な点は、命題変数の組み合わせである論理式自身もまた真１または偽０を値としてとり得る命題変数であるということです。論理式の値は、その論理式を構成する個々の命題変数の値の組み合わせに応じて決定されます。
「述語論理」のサイトによると：
述語論理
命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。
論理式
述語論理の基本単位である「論理式」と呼ばれる概念を形式的に定義します。
述語論理とは何か
変数を含む文や式は変数に具体的な値を代入することによりはじめて命題となり、その正しさを判定できるようになります。
一般に、変数を含む文や式を命題関数と呼びます。
命題関数は述語論理の対象となる最小単位の概念です。
述語論理における議論領域
変数とは様々な値を取り得る記号です。変数が取り得る値の範囲を定義域と呼びます。議論の対象となるすべての変数と、それらの変数の定義域をあわせて議論領域と呼びます。
述語論理における論理式の定義
述語論理において議論の対象となる最小概念は原子論理式です。
原子論理式は命題関数を内包する概念です。
原子論理式は単独で論理式とみなされます。また、原子論理式に論理演算子や量化記号を作用させて得られる式も論理式とみなされます。
また、論理式に論理演算子や量化記号を作用させて得られる式も論理式です。
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高校数学の目次
《命題とは》
真偽(真であるか偽であるか)が判定されうる文を 命題という.
論理的にスッキリと真か偽かが判定できる文だけを命題と呼ぶのです.
また、命題の説明には、以下の注意が必要です。
論理式：
ｘ>3 ⇒ x>4
は、命題ですが、この命題は、
正しくは、
「全ての実数ｘに関して、ｘ>3 ⇒ x>4」
という論理式です。
その論理式は、
「全ての実数ｘに関して、x≦3 or x>4」
と等価です。
この論理式は偽です。
すなわち、
「全ての実数ｘに関して、ｘ>3 ⇒ x>4」
という論理式、又は、
それに同値な論理式：
「全ての実数ｘに関して、x≦3 or x>4」
は必ず偽ですので、命題です。
p(x)⇒q(x)
という命題は、
正しくは、
「全ての実数ｘに関して、p(x)⇒q(x)」
という命題です。
命題には、「どのバラエティにおいても、」とか、「全ての実数ｘに関して、」という隠された条件が、暗黙に加えられている。
その隠された条件が付いているので、命題は、
「全ての実数ｘに関して、(p(x)で無い)∨(q(x)である)」
という論理式であらわされる命題と同値です。
「どのバラエティにおいても、」とか、「全ての実数ｘに関して、」という隠された条件が付かずに、
単に、「(p(x)で無い)∨(q(x)である)」
という論理式だけであらわされている論理式は、
次に説明する「条件」であって、命題にはならない。
「全ての実数ｘに関して、」という隠された条件が付かずに、
単に、「p(x)⇒q(x)」
という論理式だけであらわされている論理式も、同じく、
「条件」であって、命題にはならない。
《条件とは》
真であるか偽であるかが判定できる“命題”に対し,特に数学によく現れる方程式
x2-x-6=0
や
x+y=12
のように,その中にxやyなどの文字が含まれているため,それ自身としては真とも偽とも判定できないが,その中に現れる文字に特定の値を代入すると,真か偽かが決まるものがある.
例１
x2ーxー6=0は,
x=2のときは偽,
x=3のときは真.
このように,中に含まれている文字に値を代入すると,真か偽が確定する(つまり命題になる)文を条件という.
より詳しく,“xについての条件”とか“xとyについての条件”などということもある.
《大学数学によって厳密に説明すると》
「命題論理とは何か」のサイトによると：
命題と命題変数
記号論理学には命題論理（propositional logic）と述語論理（predicate logic）の2つの分野があります。述語論理は命題論理の拡張であるため、まずは命題論理について解説します。
命題論理における議論の最小単位は命題（proposition）です。
命題とは、物事の判断について述べた文や式で、正しいか正しくないかを客観的に判断できるもののことです。
ある主張の内容が難解で、それが真と偽のどちらであるか判断を下せない場合があります。そのような場合でも、その真偽の判定を客観的に行えることが保証されているのであれば、その主張はやはり命題とみなされます。いくつか例を挙げます。
「整数ｘは偶数である」という主張は、
ｘがどの整数であるかが特定されない限りその正しさを判定できないため、これは命題ではありません。
一方、「整数１４は偶数である」は真な命題です。
命題論理では個々の命題が具体的に何について言及しているかを問題とせず、それらを単に真か偽のどちらかの値をとる変数とみなします。そして、そのような変数を命題変数（proposition variable）と呼びます。
命題論理において議論の対象となる論理的な主張や推論はいずれも、命題変数どうしを組み合わせることにより得られる式として表現されますが、そのような式を論理式（formula）や命題論理式（propositional formula）などと呼びます。
論理式については後ほど正確に定義しますが、最も重要な点は、命題変数の組み合わせである論理式自身もまた真１または偽０を値としてとり得る命題変数であるということです。論理式の値は、その論理式を構成する個々の命題変数の値の組み合わせに応じて決定されます。
「述語論理」のサイトによると：
述語論理
命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。
論理式
述語論理の基本単位である「論理式」と呼ばれる概念を形式的に定義します。
述語論理とは何か
変数を含む文や式は変数に具体的な値を代入することによりはじめて命題となり、その正しさを判定できるようになります。
一般に、変数を含む文や式を命題関数と呼びます。
命題関数は述語論理の対象となる最小単位の概念です。
述語論理における議論領域
変数とは様々な値を取り得る記号です。変数が取り得る値の範囲を定義域と呼びます。議論の対象となるすべての変数と、それらの変数の定義域をあわせて議論領域と呼びます。
述語論理における論理式の定義
述語論理において議論の対象となる最小概念は原子論理式です。
原子論理式は命題関数を内包する概念です。
原子論理式は単独で論理式とみなされます。また、原子論理式に論理演算子や量化記号を作用させて得られる式も論理式とみなされます。
また、論理式に論理演算子や量化記号を作用させて得られる式も論理式です。
リンク：
高校数学の目次
