加法定理（等式の証明（3））

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問１】定数Ａ，Ｂ，Ｃと変数θであらわされる等式
Ａｓｉｎθ＋Ｂｃｏｓθ＋Ｃ＝０　（式１）
がすべてのθに対して成り立つための条件は、
Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝０　（式２）
であることを示せ。

【注意】
この問題は、Ａ，Ｂ，Ｃが定数であって、変数θといっしょには変化しないことが問題のポイントです。
もし、Ａ，Ｂ，Ｃがθともに変化する変数でも良いなら、
例えば、Ａ＝ｃｏｓθ，　Ｂ＝－ｓｉｎθ，　Ｃ＝０でも、式１が成り立つ。
Ａ，Ｂ，Ｃがθとともに変わらない定数という条件が付いているからこそ、式１が成り立つようなＡとＢとＣは、式２のように、すべて０にならなければならないのです。

定数Ａ，Ｂ，Ｃについて変数θの全ての値で式１が成り立つということは、式１が、ｘ＝ｘや１＋ｘ＝ｘ＋１という式と同じような恒等式であるということを意味します。
式１のｃｏｓθを何倍しても、どんな定数Ｃを加えても、ｓｉｎθになることは無いので、これが恒等的に成り立つには０＝０という式、すなわち、Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝０しか無いということがわかります。

一度、これを学んだ人は、次回からは、こういう答えでも良いと思います。
（入学試験では、こういう答えで良いだろうと考えます。）
高校生は、最初は、この基礎知識を自分で確認して学ぶために、１回は、これを証明してみせなければなりません。
Ａｘ^２＋Ｂｘ＋Ｃ＝０が全てのｘに対して成り立つ条件も、
Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝０です。
これも、最初に学んだときに、自分で証明してみたのではないかと思います。

（証明開始）
式１に、θ＝０を代入する。
０＋Ｂ＋Ｃ＝０　（式３）
式１に、θ＝π／２を代入する。
Ａ＋０＋Ｃ＝０　（式４）
式１に、θ＝πを代入する。
０－Ｂ＋Ｃ＝０　（式５）
式３＋式４を計算する。
２Ｃ＝０
Ｃ＝０　（式６）
式６を式３に代入する。
Ｂ＝０
式６を式４に代入する。
Ａ＝０
∴　Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝０
（証明おわり）

【問２】定数Ａ，Ｂ，Ｃと変数θであらわされる等式
Ａｓｉｎθ＋Ｂｓｉｎ（θ＋２π／３）＋Ｃｓｉｎ（θ＋４π／３）＝０　（式７）
がすべてのθに対して成り立つための条件を求めよ。

０＝Ａｓｉｎθ＋Ｂｓｉｎ（θ＋２π／３）＋Ｃｓｉｎ（θ＋４π／３）
０＝Ａｓｉｎθ
＋Ｂ｛ｓｉｎθｃｏｓ（２π／３）＋ｃｏｓθｓｉｎ（２π／３）｝
＋Ｃ｛ｓｉｎθｃｏｓ（４π／３）＋ｃｏｓθｓｉｎ（４π／３）｝
０＝Ａｓｉｎθ＋Ｂ｛ｓｉｎθ（－１／２）＋ｃｏｓθ（√３／２）｝
＋Ｃ｛ｓｉｎθ（－１／２）＋ｃｏｓθ（－√３／２）｝
０＝｛Ａ－（Ｂ／２）－（Ｃ／２）｝ｓｉｎθ
＋｛（√３Ｂ／２）－（√３Ｃ／２）｝ｃｏｓθ　（式８）

式８に、θ＝０を代入する。
０＋｛（√３Ｂ／２）－（√３Ｃ／２）｝＝０
Ｂ－Ｃ＝０
Ｂ＝Ｃ　（式９）
式８に、θ＝π／２を代入する。
Ａ－（Ｂ／２）－（Ｃ／２）＝０
Ａ－（１／２）（Ｂ＋Ｃ）＝０　（式１０）
式１０に式９を代入する。
Ａ－Ｃ＝０
Ａ＝Ｃ
∴　Ａ＝Ｂ＝Ｃ　（式１１）
（検算）
式１１を式８に代入すると、
０＝０
たしかに、式１１が求める条件である。

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