円と円の関係（２円の交点を通る直線）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問１】２つの円
ｘ^２＋ｙ^２＝１　（式１）
ｘ^２－ａｘ＋ｙ^２－ｂｙ＝ｃ　（式２）
の２つの交点を通る直線ｍをもとめよ。

（予備知識）
受験問題のときは、２円の２つの交点を通る直線の問題は、直線の式を求めた後で、それをベクトルで解釈して、円の中心との距離を考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

（式１）－（式２）を計算する。
ａｘ＋ｂｙ＝１－ｃ　（式３）
この式が、２円の２つの交点を通る直線ｍの式です。

この直線ｍの式は２円が交わらないときも得られる式です。
この直線ｍが円と交わる場合に限り２円が交わります。
そのため、次には、この直線ｍが円と交わるかどうかを調べます。

（ベクトルを利用した計算技術を使う）
直線ｍの式３は、下の図のように考えます。

直線ｍの（式３）の左辺は、ベクトルＡと位置ベクトル（ｘ，ｙ）との内積です。
上図のように、この直線ｍの式を、ベクトルＡ（ａ，ｂ）に平行な単位ベクトル（ａ，ｂ）／√（ａ^２＋ｂ^２）との内積の式に変形する。

単位ベクトルと位置ベクトル（ｘ，ｙ）の内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわすという特別な意味を持つ。
直線ｍの原点からの距離＝（１－ｃ）／√（ａ^２＋ｂ^２）
である。

この直線が式１の円と交わる条件は、
－１≦（１－ｃ）／√（ａ^２＋ｂ^２）≦１
である。この条件を変形すると、
－√（ａ^２＋ｂ^２）≦（１－ｃ）≦√（ａ^２＋ｂ^２）
これが、直線ｍが円と交わる条件、すなわち、２円が交点を持つ条件である。

《研究》
　２つの円が（１，１）で接する場合はどうなるかを考える。
ｘ^２＋ｙ^２＝１　（式１）
ｘ^２－４ｘ＋４＋ｙ^２＝１　（式２）
（式１）－（式２）を計算する。
４ｘ－４＝０，
ｘ＝１，
この式は、２つの円が接する点（１，１）を通る直線である。
　しかし、２つの円が接する点（１，１）を通る直線は、それだけでは無く、
点（１，１）を通る全ての傾きの直線も、２つの円が接する点（１，１）を通る直線である。

リンク：
高校数学の目次