2011年4月2日土曜日

第3講2節 円と直線(円と直線の交点)


佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)と直線ax+by=1との交点の座標を求めよ。

(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

円の式は、+y=1 (式1)
直線の式は、ax+by=1 (式2)
式1と式2を連立して交点B(x,y)とCの座標を求める。


(ベクトルを利用した計算技術を使う)
式2は、下の図のベクトルBとベクトルAの内積です。


上図のように、ベクトルA(a,b)に平行な単位ベクトルH(a,b)を考える。
単位ベクトルH

すなわち、
である。
式2をベクトルBと単位ベクトルHとの内積の式に書き直す。
単位ベクトルH(a,b)に垂直な単位ベクトル
を考える。ベクトルBをベクトルHとベクトルJの合成であらわす。

式1と式2を連立するのみでベクトルBの方向を定める場合は、ベクトルBの方向は、単位ベクトルJとベクトルBの内積が以下の式8のように負になる方向に向いている場合もありえる。
式6のx成分とy成分は以下の式になる。
x=s・a-t・b (式9)
y=s・b+t・a (式10)
よって、接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせます。

(点Bの座標)
式9と式10のaとbには、式3を代入してaとbであらわし、
sとtには、式5と式7を代入する。
(点Cの座標)
式9と式10のaとbには、式3を代入してaとbであらわし、
sとtには、式5と式8を代入する。

リンク:
高校数学の目次
(5)複素数平面での円と直線の交点

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