（１）複素数平面

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第６講　複素数平面

複素数平面は高校３年の範囲ですが、昔は高校２年で、虚数を教わると同時に、数直線が平面になって複素数があらわされると教わっていました。
　そのため、高校２年から、複素数平面を複素数を理解するための便利な道具として使う（例えば複素数の解を表す道具として使う）ようにしてください。
（複素数平面に関して出題される複雑な問題は高校２年では解かずに、そういう問題は後で、高校３年になってから解くことにして良いです。）

複素数平面とは、
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面であり、その平面上の点で複素数をあらわす平面です。

上図のように、例えば、ｉや、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。

この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例　|ｉ|＝１

この図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。

以下の話は後で説明しますが、
複素数ｚが、０と１を結ぶ線分から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
ｕ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｚを他の複素数ｗに掛け算した答えの複素数ｕは、０と複素数ｗを結ぶ直線を、０を中心にして角度θ回転した直線上にあります。
０と複素数ｚを結ぶ線分が０と１を結ぶ線分と成す角度θをａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
ａｒｇ（ｕ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
なお、複素数ｕの絶対値は複素数ｗの絶対値と複素数ｚの絶対値を掛け算した値になります。
|ｕ|＝|ｗ|・|ｚ|

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