2011年11月20日日曜日

第6講:複素数平面(1)複素数平面



佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第6講 複素数平面

複素数平面は高校3年の範囲ですが、昔は高校2年で、虚数を教わると同時に、数直線が平面になって複素数があらわされると教わっていました。
 そのため、高校2年から、複素数平面を複素数を理解するための便利な道具として使う(例えば複素数の解を表す道具として使う)ようにしてください
(複素数平面に関して出題される複雑な問題は高校2年では解かずに、そういう問題は後で、高校3年になってから解くことにして良いです。)

複素数平面とは、
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面であり、その平面上の点で複素数をあらわす平面です。

上図のように、例えば、iや、(1+i)/√2などの複素数を複素数平面上の点であらわします。

この複素平面で、実軸の右側にある数”1”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と0をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数zを、|z|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例 |i|=1

この図には、虚数iの平方根である(1+i)/√2があらわされていますが、(1+i)/√2の絶対値は1であって、(1+i)/√2は、0を中心とする半径1の円上にあります。
しかも、(1+i)/√2の実軸と成す角度は45度で、0と1を結ぶ線(実軸)と、0とiを結ぶ線(虚軸)が成す角90度のちょうど半分です。

以下の話は後で説明しますが、
複素数zが、0と1を結ぶ線分から、0を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
u=w・z
というように、複素数zを他の複素数wに掛け算した答えの複素数uは、0と複素数wを結ぶ直線を、0を中心にして角度θ回転した直線上にあります。
0と複素数zを結ぶ線分が0と1を結ぶ線分と成す角度θをarg(z)とあらわします(左回りを正の角度にします)。
arg(u)=arg(w)+arg(z)
なお、複素数uの絶対値は複素数wの絶対値と複素数zの絶対値を掛け算した値になります。
|u|=|w|・|z|

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