2011年11月20日日曜日

第6講:複素数平面(2)複素数を掛け算すると偏角が足し算される

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佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

以下の内容は、むかしは、高校の検定教科書では教えないことになっていました。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられていたのかもしれません。
そのため、むかしは、以下の内容は、禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましかったと考えます。

また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。

s=w・z
というように、複素数wに複素数zを掛け算して複素数sを計算する場合、
複素数平面で複素数zが、0と1を結ぶ線分(実軸)から、0を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ=arg(z)とあらわします(左回りを正の角度にします)。
また、複素数zの絶対値を|z|とあらわします。

その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
arg(s)=arg(w)+arg(z)
|s|=|w|・|z|
以下で、これが、どうして成り立つかを説明します。
上図のように、
複素数 w=1+i
に、実数3/2を掛け算すると、
複素数wは、実軸と成す角度が同じまま、長さ(絶対値)が3/2倍になります。
上図のように、w=1に虚数z=iを掛け算すると、
掛け算の結果s=iになり、
数W=1と原点0を結ぶ線が左回りに90度回転します。
上図のように、w=iに虚数z=iを掛け算すると、
掛け算の結果s=-1になり、
数W=iと原点を結ぶ線が左回りに90度回転します。
ここでできた、0と(s=-1)と(i)を結んだ三角形が、
先の図で、0と(s=i)と(1)を結んだ直角二等辺三角形と相似(図では合同)になります。
上図のように、w=1+iに虚数z=iを掛け算すると、
掛け算の結果s=-1+iになり、
数W=1+iと原点を結ぶ線が左回りに90度回転します。
ここでできた、0と(s=-1+i)と(1+i)を結んだ三角形が、
先の図で、0と(s=-1)と(i)を結んだ直角二等辺三角形と相似になります。
上図のように、w=(1/2)+(3/2)iに虚数z=iを掛け算すると、
掛け算の結果s=-(3/2)+(1/2)iになり、
数W=(1/2)+(3/2)iと原点を結ぶ線が左回りに90度回転します。
ここでできた、0と(s=-(3/2)+(1/2)i)と(w=(1/2)+(3/2)i)を結んだ三角形が、
先の図で、0とsとwを結んだ直角二等辺三角形と相似になります。

このように、どのような複素数wにz=iを掛け算しても、その答えsに関して、
0とsとwを結んだ三角形は必ず直角二等辺三角形になります。
このことの証明は、上図で、直角三角形0(wi)Bが、直角三角形0(w)Aに相似である(相似比が1)事を利用することで証明できます。
上図を用いて、どのような複素数wとzについても、
0と(s=wz)とwを結んだ三角形は必ず、0とzと1を結んだ三角形に相似な三角形になることが証明できます。

(証明開始)
上図で、線分OAの長さの実数に複素数zを掛け算して得た複素数の点をCとし、線分OBの長さの虚数に複素数zを掛け算して得た複素数の点をDとします。
複素数wは線分OAの長さの実数に線分OBの長さの虚数を足した値ですから、複素数wに複素数zを掛け算した値sは、C点の複素数にD点の複素数を足した値になり、上図の長方形ODsCの頂点sの位置に来ます。

三角形0CAと三角形ODBは、Oとzと1を結んだ三角形に相似な三角形です。辺OCの長さは、辺OAの長さの|z|倍で、辺ODの長さも辺OBの長さの|z|倍です。
そのため、長方形ODsCは、長方形OBwAの大きさの|z|倍で長方形OBwAに相似です。
また、長方形ODsCは、長方形OBwAをzの偏角θだけ回転した形をしています。
その長方形ODsCの一部である直角三角形OsCは、直角三角形OwAの各辺を|z|倍にした直角三角形です。
そのため、直角三角形OsCは直角三角形OwAに相似であり、また、直角三角形OsCは直角三角形OwAを左に角θ回転した形をしています。
そのため、三角形Oswは、辺0sが辺Owの|z|倍の長さを持ち、∠sOw=θになります。
この三角形Oswの、頂角∠sOw=θと、辺の長さ0sとOwの比とは、
0とzと1を結んだ三角形の、頂角θと、Ozの辺の長さのOから1までの辺の長さに対する比と同じです。
よって、三角形Oswは、0とzと1を結んだ三角形に相似になります。
(証明終わり)

このことを、数式を用いて表現すると、
arg(s)=arg(w)+arg(z)
|s|=|w|・|z|
と表現できます。
例えば、上図のように、zが(1/2)+(1/2)iの場合は、
0とzと(1)を結んだ三角形は、頂角が45度の二等辺三角形になります。
そして、上図のように、wにz=(1/2)+(1/2)iを掛け算した場合は、
0と(w・z)とwを結んだ三角形は、頂角が45度の二等辺三角形になります。
また、uにz=(1/2)+(1/2)iを掛け算した場合は、
0と(u・z)とuを結んだ三角形は、先の三角形に相似になり、
すなわち、頂角が45度の二等辺三角形になります。
このように、どのような複素数wにz=(1/2)+(1/2)iを掛け算しても、その答えsに関して、
0とsとwを結んだ三角形は必ず、0とzと1を結んだ三角形に相似な三角形(頂角が45度の二等辺三角形)になります。

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