2011年3月21日月曜日

軌跡の計算(9)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】点K(k,k)と点P(X,Y)との間に、次の関係があるものとする。
(aとbは0で無い定数)点K(k,k)が直線x+y-1=0上を動くとき、点P(X,Y)はどんな図形を描くか。

(解き方の方針)
先ず、直線の式にK(k,k)を代入した式を書いておく。
+k-1=0 (式3)

この問題は、以下の方針で計算する。
(方針1)先ず、式1と式2が同じ形の分母Bを持っていることに注目する。
(方針2)式1と式2の分子はkの定数倍とkの定数倍の和のみであるので、式1と式2を加え合わせて、分子をkの定数倍にした式(式4)と、分子をkの定数倍にした式(式5)を計算することができる。そのため、その式5と式6を計算する。
(方針3)(式4)の2乗と(式5)の二乗を加え合わせた式(式6)を作る。式6は、分子が元の分母B=(k+k)の定数倍になるので、(式6)=B/B=1/Bの定数倍になる。
(方針4)式3の左辺のkの項に式4を代入し、kの項に式5を代入し、定数項に式6の定数倍を代入した(式7)を計算する。その(式7)は、式3の右辺が0であるので0になる。そのため、(式7)では、kとkの分数式であらわされた項が一気に消える。

(解答)
先ず、(方針2)を実行する。
分子からkを消去してkを残すために、a(式1)+b(式2)を計算する。
分子からkを消去してkを残すために、b(式1)-a(式2)を計算する。
(方針3)により、(式4)の二乗と(式5)の二乗を加え合わせる。
この式の左辺=(a+b)(X+Y
よって、
式を(a+b)で割り算する(aとbは0では無い)。
以上で得た式を整理すると、以下の式になる。
(方針4)により、(式3)に(式4)と(式5)と(式6)を代入する。
この式8は、下図のように、中心が((a+b)/2,(b-a)/2)にあり、(0,0)を通り、半径が√((a+b)/2)の円である。

ここで、式1と式2から、X=0,Y=0になるためには、
a+kb=0 → k=-kb/a
b-ka=0 → k=ka/b
=-k
となるので、k=k=0
しかし、k=k=0は、式3であらわす直線上の点では無い。そのため、P(X,Y)は(0,0)にはならない。

式1と式2を見ると、点Kが直線の左右の無限遠方に遠ざかれば、P(X,Y)は(0,0)に近づくが、P(X,Y)は決して(0,0)には到達しない。

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