2011年4月2日土曜日

第3講2節 円と直線(円への接線(3))

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,b)から引いた2つの接線の円との接点BとCの座標をもとめよ。
上の図で線分DAの長さをmとする。


(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。


しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。
ただし、以下の計算では、ベクトルを利用して計算を楽にする計算技術を使います。


円の式は、
+y=1 (式1)
接点Bの座標をB(c,d)とする。
接点Bを通る、円の接線の式は、
cx+dy=1 (式2)
この接線が点A(a,b)を通るため、以下の式がなりたつ。
c・a+d・b=1 (式3)
接点B(c,d)の座標を円の式(式1)に代入する。
+d=1 (式4)
式3と式4を連立して接点B(c,d)の座標を求める。

(ベクトルを利用した計算技術を使う)
式3は、下の図のベクトルBとベクトルAの内積です。
上図のように、ベクトルAに平行な単位ベクトルH(e,f)を考える。
単位ベクトルH=ベクトルA/√(a+b
すなわち、
(e,f)=(a,b)/√(a+b) (式5)
式3をベクトルBと単位ベクトルHとの内積の式に書き直す。
c・e+d・f=s (式6)
s=1/√(a+b) (式7)


単位ベクトルH(e,f)に垂直な単位ベクトルJ(-f,e)を考える。
すると単位ベクトルJとベクトルBの内積の式は以下の式になる。
-c・f+d・e=t (式8)
t=√(1-s) (式9)
式3と式4を連立するのみでベクトルBの方向を定める場合は、ベクトルBの方向は、単位ベクトルJとベクトルBの内積が以下の式10のように負になる方向に向いている場合もありえる。
t=-√(1-s) (式10)

ベクトルB(c,d)=s・ベクトルH+t・ベクトルJ
c=s・e-t・f (式11)
d=s・f+t・e (式12)

よって、接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせます。
(点Bの座標)
式11と式12のeとfには、式5を代入してaとbであらわし、
sとtには、式7と式9を代入する。
c=(1/(a+b)){a-b√(a+b-1)}
d=(1/(a+b)){b+a√(a+b-1)}
(点Cの座標)
式11と式12のeとfには、式5を代入してaとbであらわし、
sとtには、式7と式10を代入する。
c=(1/(a+b)){a+b√(a+b-1)}
d=(1/(a+b)){b-a√(a+b-1)}


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3 件のコメント:

  1. 円の接線で直線y=2x-3に平行な直線の方程式の求め方を教えて下さい。早めにお願いします。

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    1. 追加・・円はx^2+y^2=9です。

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  2. 円の接線で直線y=2x-3に平行な直線の方程式の求め方

    回答が遅くなり、ごめんなさい。

    この直線は、
    3=2x-y
    と変形できます。
    ベクトル(2,-1)とベクトル(x,y)との内積が3になるという意味の式ですから、
    点(x,y)の集合の直線に垂直なべクトルは(2,-1)です。
    このベクトル(2,-1)と円x^2+y^2=3^2との交点Pを求めて、
    その交点を通る、ベクトル(2,-1)に垂直な直線が求める直線の式です。
    求める直線の式はy=2x+aの形ですので、
    交点Pを通るようにaを与えれば良いです。

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