2011年4月25日月曜日

2倍角と半角の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

2倍角の公式は、加法定理の2つの角度が等しい場合の公式です。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
α=βの場合は
sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα
sin(2α)=2sinαcosα
これが、sinの2倍角の公式です。

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
α=βの場合は
cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα
cos(2α)=cosα-sinα
=cosα-sinα+cosα+sinα-1
=2cosα-1
=cosα-sinα-cosα-sinα+1
=1-2sinα
すなわち、
cos(2α)=cosα-sinα
=2cosα-1
=1-2sinα
これがcosの2倍角の公式です。


上の2つの式を覚えて良く使うようにしましょう。


tan(2α)=2sinαcosα/(cosα-sinα)
分母と分子ともにcosαで割り算すると
tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
これがtanの2倍角の公式です。

半角の公式は、以下の公式です。
cos(2α)=2cosα-1
この式を変形する

これがcosの半角の公式です。

cos(2α)=1-2sinα
この式を変形する

これがsinの半角の公式です。


これがtanの半角の公式です。

(変形半角の公式(1))
以下の、変形半角の公式(1)が成り立ちます。


(変形半角の公式(2))
以下の、変形半角の公式(2)が成り立ちます。



(sinの複数の積の式)
以下の式の関係があります。



(cosの積の式)
 以下の公式も成り立ちます。
cos(2θ)=(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)

 以上の変形半角の公式やcosの積の公式のように、(cosθ-sinθ)と(cosθ+sinθ)を、sinやcosと同じ様に扱った公式も成り立ちます。


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