2011年4月25日月曜日

第5講1節 2倍角と半角の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

2倍角の公式は、加法定理の2つの角度が等しい場合の公式です。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
α=βの場合は
sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα
sin(2α)=2sinαcosα
これが、sinの2倍角の公式です。

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
α=βの場合は
cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα
cos(2α)=cosα-sinα
=cosα-sinα+cosα+sinα-1
=2cosα-1
=cosα-sinα-cosα-sinα+1
=1-2sinα
すなわち、
cos(2α)=cosα-sinα
=2cosα-1
=1-2sinα
これがcosの2倍角の公式です。

tan(2α)=2sinαcosα/(cosα-sinα)
分母と分子ともにcosαで割り算すると
tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
これがtanの2倍角の公式です。

半角の公式は、以下の公式です。
cos(2α)=2cosα-1
この式を変形する
2cosα=1+cos(2α)
cosα=(1+cos(2α))/2
cos(γ/2)=(1+cos(γ))/2
これがcosの半角の公式です。

cos(2α)=1-2sinα
この式を変形する
2sinα=1-cos(2α)
sinα=(1-cos(2α))/2
sin(γ/2)=(1-cosγ)/2
これがsinの半角の公式です。

tan(γ/2)=(1-cosγ)/(1+cosγ)
これがtanの半角の公式です。

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