2011年4月26日火曜日

第5講1節 2倍角と半角の公式 練習問題(1)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて、
cosAcosBcosC≦(1/8) (式1)
を証明せよ。そして、△ABCが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。
 
(予備知識)
加法定理(2倍角と半角の公式)を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。

そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の発案が解答のポイントの問題を解きます。

この問題は、一部に半角の定理を使いますが、それ以外の発案がポイントです。

(解答)
(求める答えを、より易しい答えにできないかを考える)
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

cosAcosBcosCの式は角度がAとBとCとの3つもあるから難しい。そのため、考えなければならない角度の数を減らした問題に、問題をかみくだいて考える。

角Aを固定して、角Bと角Cだけを考えて、式1が最大になる場合を考える。
その場合、角B=角C=(π-A)/2=αの場合に式1が最大になるだろうと予測できる。

角Bと角Cをαと補正角βとであらわす。
α=(π-A)/2 (式2)
B=α+β (式3)
C=α-β (式4)

式1の左辺をDとおく。
D=cosAcosBcosC
=cosAcos(α+β)cos(α-β)
=cosA{cosαcosβ-sinαsinβ}{cosαcosβ+sinαsinβ},
=cosA{cosαcosβ-sinαsinβ
この式の{}内に、 0=(cosαsinβcosαsinβ)を加える。
=cosAcosαcosβ
+(cosαsinβcosαsinβ
-sinαsinβ},
=cosA{cosαcosβ+sinβ
-(cosα+sinαsinβ},
=cosA{cosαsinβ} (式5)

式5が最大になる場合は、β=0の場合である。その場合は、
D=cosAcosα
=cosAcos((π/2)-(A/2))
=cosAsin(A/2)
ここで、半角の公式を使う。
D=cosA(1-cosA)/2
=(1/2){-cosA+cosA}
=(1/2){-(cosA-(1/2))+(1/4)}
=(1/8)-(1/2)(cosA-(1/2)) (式6)

式6のDが最大になる場合は、β=0、かつ、cosA=(1/2)になる場合であって、そのDの最大値は(1/8)。
cosA=(1/2)の場合は∠A=π/3=60°

また、β=0の場合、
∠B=∠C=60°
すなわち、正三角形の場合にDは最大値になる。
正三角形以外の場合は、式6と式5から、D<(1/8)である。
(証明おわり)

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