2011年5月3日火曜日

第5講3節 和と積の公式 練習問題(7)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

(以下の問題は、「5講1節(2)覚えておく計算方法」の応用問題です。

【問1】sinA+sinB=2/3,cosAcosB=1/2のとき、
sinAsinBの値を求めよ。

【解答の心構え】
(1)先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
 今回は、求める式がsinAsinBという単純な式なので、求める式をこれ以上にはやさしくはできないと考える。

(2)次に考えることは、なるべく、加法定理関係の公式を使わないで、正弦定理や余弦定理や、「5講1節(2)覚えておく計算方法」を使った見通しが良い解答が無いかを考える。
 その結果、以下に説明するように、加法定理も、和と積の公式も使わないで答えが得られるが、それが正解です。

(解答の方針)
この問題は、「5講1節(2)覚えておく計算方法」を使うと式が単純になることを思い出して、sinAsinB=xとあらわして、xの方程式を書いて、xを解く。

 先ず、値がわかっているcosAcosB=1/2と、未知数sinAsinB=xとを、「5講1節(2)覚えておく計算方法」にあてはめて、以下の式を書く。
cosAcosB-sinAsin
=cosAcos
+(cosAsinB-cosAsinB)
-sinAsin
=cosA-sin
 次に、値がわかっているsinA+sinB=2/3を式の中に組み込めるように式を変形する。
=1-sinA-sin
=1-(sinA+sinB)+2sinAsinB

以上の計算で、以下の方程式が書けた。
cosAcosB-sinAsin
=1-(sinA+sinB)+2sinAsinB

この方程式の各項を、定数あるいは未知数xに置き換えてxの方程式を書く。
(1/2)-x=1-(2/3)+2x
+2x+1-(2/3)-(1/2)=0
+2x+(36-16-9)/36=0
+2x+11/36=0
(x+(11/6))(x+1/6)=0
x=-11/6, 不適(|x|=|sinAsinB|≦1であるため)
or x=-1/6
∴ sinAsinB=x=-1/6
(答おわり)

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