2011年7月7日木曜日

第3講1節 いろいろな数列の和(1)

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問1】(1×2)+(2×3)+(3×4)+・・・+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)を証明せよ。

【問2】(1×2×3)+(2×3×4)+(3×4×5)+・・・+n(n+1)(n+2)=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)を証明せよ。

【問3】(1×2×3×4)+(2×3×4×5)+(3×4×5×6)+・・・+n(n+1)(n+2)(n+3)=(1/5)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)を証明せよ。

(解答)【問1】
=k(k+1)の和(k=1~n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b-b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。

+a+a+a
=(b-b)+(b-b)+(b-b)+(b-b
=b-b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

-(k-1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)
を考える。

-(k-1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)
=k(k+1){-(k-1)+(k+2)}
=k(k+1){3}
となるから、
k(k+1)=(1/3){-(k-1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)}
である。

つまり、
=k(k+1)の場合において、
=b-b(k+1)
とあらわせる
=-(k-1)k(k+1)
という式が得られた。

これを使って、以下の答えが得られる。
=k(k+1)の和(k=1~n)は、
(1/3){b-b(n+1)
=(1/3){-0×1×2+n(n+1)(n+2)}
=(1/3)n(n+1)(n+2)
(証明おわり)

問2以降も同様に証明できる。
 
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