第３講１節 いろいろな数列の和（２－１）

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問１】
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２を証明せよ。

ａ_ｋ＝ｋの和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせるｂ_ｋの式を考えて解きます。

ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋ａ_４
＝（ｂ_１－ｂ_２）＋（ｂ_２－ｂ_３）＋（ｂ_３－ｂ_４）＋（ｂ_４－ｂ_５）
＝ｂ_１－ｂ_５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）
を考える。

－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）
＝ｋ｛－（ｋ－１）＋（ｋ＋１）｝
＝２ｋ
となるから、
ｋ＝（１／２）｛－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）｝
である。

つまり、
ａ_ｋ＝ｋの場合において、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせる
ｂ_ｋ＝－（１／２）（ｋ－１）ｋ
という式が得られた。

これを使って、以下の答えが得られる。
ａ_ｋ＝ｋの和（ｋ＝１～ｎ）は、
ｂ_１－ｂ_{（ｎ＋１）}
＝（１／２）｛－０×１＋ｎ（ｎ＋１）｝
＝（１／２）ｎ（ｎ＋１）
（証明おわり）

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