2011年7月9日土曜日

第3講1節 いろいろな数列の和(2-2)

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問2】1+2+3+・・・+n=G(n)とする公式を求めよ。

=kの和(k=1~n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b-b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。
+a+a+a
=(b-b)+(b-b)+(b-b)+(b-b
=b-b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
=b-b(k+1)+f(k)
となって、f(k)という項が余っても、その項の和の公式がわかっていれば、それでも問題が解けます。

-(k-1)k+k(k+1)
を考える。

-(k-1)k+k(k+1)
=k{-(k-1)k+(k+1)
=k{3k+1}
となるから、
=(1/3){-(k-1)k+k(k+1)-k}
である。

つまり、
=kの場合において、
=b-b(k+1)-(k/3)
とあらわせる
=-(1/3)(k-1)k
という式が得られた。
-(k/3)という項が余っているが、この余った項の和を求める公式は既に知っている(kの和はn(n+1)/2)ので問題が解ける。

これを使って、以下の答えが得られる。
=kの和(k=1~n)は、
-b(n+1)-(k/3)の和
=(1/3){-0×1}+(1/3){n(n+1)
-{n(n+1)/2}/3
=(1/3){n(n+1)-n(n+1)/2}
=(1/3)n(n+1){(n+1)-(1/2)}
=(1/3)n(n+1)(n+(1/2))
(解答おわり)

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