2011年7月17日日曜日

第2講4節 相加平均と相乗平均の不等式

《積が和にかわる対数関数は、相加平均(和)と相乗平均(積)の不等式と相性が良い》

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

a≧0, b≧0のとき
 (a+b)/2≧√(a・b)
ただし、a≠bのときは
(a+b)/2>√(a・b)

【問1】log34とlog45の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
対数関数の問題を考える場合は、対数の底をそろえる。

また、積が和に変わる対数関数の性質は、
相加平均(和)と相乗平均(積)の比較をする相加平均と相乗平均の不等式と似ていることに注目すること。

H≡(log45)/(log34)
=(log45)・(log43)
=(√{(log45)・(log43)})
(相乗平均(積)<相加平均(和)の関係を使う)
H<J≡({(log45)+(log43)}/2)
J={log4(√(5・3))}
(相乗平均(積)<相加平均(和)の関係を使う)
J<K≡{log4({(5+3)/2})}
K={log44}
=1

∴ H≡(log45)/(log34)<1
log45<log3
(解答おわり)

リンク: 
指数関数と対数関数 log(3)4とlog(4)5
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