2011年8月19日金曜日

2つの放物線の接線が直交する

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】2つの放物線
y= x-2x+2 (式1)
y=-x+ax+b (式2)
は、それらの交点の1つPで、接線が互いに直交しているものとする。
このとき、放物線(式2)は、a、bの値に無関係な一定の点Qを通ることを証明し、Qの座標を求めよ。

(解答の方針)
「一定の点Qを通る」というような耳慣れない性質を求める問題が出て来ても、あわてずに、
先ず、与えられた全ての条件を数式で表わす。
そうする理由は、その数式の解き方のパターンは限られていて、
この問題は、どの解き方のパターンで解けば良いかが数式から分かるからです。

交点P(c,d)とする。
交点Pのdが式1と式2とであらわされるから、交点P(c,d)を代入した式1=式2が成り立つ
-2c+2=-c+ac+b (式3)

式1の放物線の接線の傾きは、
y’=2x-2 (式4)
式2の放物線の接線の傾きは、
y’=-2x+a (式5)
点Pでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
(2c-2)(-2c+a)=-1 (式6)

点Q(x,y)は放物線(式2)上にあるので、
y=-x+ax+b (式2)
である。

結局、以下の式の群が得られた。
-2c+2=-c+ac+b (式3)
(2c-2)(-2c+a)=-1 (式6)
y=-x+ax+b (式2)

これら3つの式を使って問題を解くのは、未知数を順次に減らす計算パターンしか無い。
未知数は、a、b、c、x、yである。
式が3つあるので、未知数を2つ消去できる。
そのように未知数を消去する計算をすると、未知数群(a,b,c)のうちで残った1つの未知数と(x,y)とを含む1つの式が得られる。

そのため、この問題は、その1つの式から(x,y)を求める問題であることがわかる。
すなわち、この問題は、
「1つの未知数に関する1つの式から、未知数の値に無関係な一定の点Q(x,y)の値を求める」
という問題である。

問題を言いかえると、
「(1つの)未知数の値が変化しても一定の値の(x,y)によって式が満足される、そういう値(x,y)を求める」
という問題である。

更に問題を言いかえると、
「(1つの)未知数の値がどのように変化しても式がいつも成り立つようにする(x,y)を求める」
という問題である。

ここまで言いかえると、この問題は、
「(1つの)未知数に関する式を恒等式にする条件を満足する(x,y)を求める」
という問題であることがわかる。
それで、この問題を解くめどが立った。

このように、数式を書けば、その数式の解き方のパターンの数が限られているので、どういう問題であるかの、問題の意味が見えて来る。

(解答)
(1)
交点P(c,d)とする。
交点Pのdが式1と式2とであらわされるから、交点P(c,d)を代入した式1=式2が成り立つ
-2c+2=-c+ac+b (式3)
2c-(2+a)c+2-b=0 (式7)

(2)
式1の放物線の接線の傾きは、
y’=2x-2 (式4)
式2の放物線の接線の傾きは、
y’=-2x+a (式5)
点Pでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
(2c-2)(-2c+a)=-1 (式6)
 -4c+2ca+4c-2a=-1
-4c+2ca+4c-2a+1=0
4c-2ca-4c+2a-1=0
4c-(2a+4)c+2a-1=0 (式8)

(3)
点Q(x,y)は放物線(式2)上にあるので、
y=-x+ax+b (式2)
である。

(4)
これらの式を整理して並べると、
2c-(2+a)c+2-b=0 (式7)
4c-(2a+4)c+2a-1=0 (式8)
y=-x+ax+b (式2)

この3つの式から未知数a,b,cのうちの2つの未知数を消去し、残った未知数の式が恒等式になるように(x,y)の値を定める。

ここで、式7と式8から、複雑な式を成す未知数cが消去できることがわかる。
(式7)×2-(式8)を計算する。
4-2b-(2aー1)=0
4-2b-2a+1=0 (式9)

(5)
式2から、
b=y+x-ax (式2’)
この(式2’)を式9に代入してbを消去する。
4-2(y+x-ax)-2a+1=0
この式を未知数aに関して整理する。
a(2x-2)+4-2y-2x+1=0

この式が未知数aに関して恒等式になる条件は、
2x-2=0 (式10)
4-2y-2x+1=0 (式11)

(5-1)
式10から、
2x=2
x=1 (式12)
(5-2)
式12を式11に代入する。
4-2y-2+1=0
3=2y
y=3/2

よって、
Q(x,y)=(1,3/2)
(解答おわり)

【注意】この問題を解くのに、最初に未知数cを消去したが、他の未知数を消去して最後まで未知数cを残しても、同様に、解くことができる。

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