2011年11月23日水曜日

複素数平面(5)複素数平面での軌跡




佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第6講 複素数平面

【問1】実数の媒介変数tを-∞から∞まで変化させたとき、
z=1+i・t (式1)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

【問2】実数の媒介変数tを-∞から∞まで変化させたとき、
z=1/(1+i・t) (式2)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

(解答)

【問1の解】
式1の複素数zは、上図のように、z=1の点を通り、実軸に垂直な直線上にある。

【問2の解】
式2の複素数zは、上図のように、z=0とz=1とを直径の両端とする円の上にある。
ただし、z=0の点は通らない。

それを以下で証明する。
(証明開始)
zは、 zをあらわす複素数平面での点Cに関して、
|z|=線分OC=1/|(1+i・t)|=1/線分OA
であるから、
OC/OB=OB/OA
であり、
△BOCの2辺OCとOBの辺の長さが△AOBの2辺OBとOAから同じ比で縮小されている。
また、
arg(z)=-∠BOC=-arg(1+i・t)=-∠AOB
であるから、
△BOCの2辺OCとOBの間の角が、△AOBの2辺OBとOAの間の角と等しい。
∴ △BOC∽△AOB
そのため、
∠OCB=∠OBA=∠R=90度
∠OCBは常に90度なので、
C点は、OBを直径とする円周上にある。
ただし、式2のzは0では無いので、z=0の点は通らない。
(証明おわり)

(別解)
以下のようにして証明することもできる。
(注意)上のようにtの値にかかわらず|分子/分母|=1となる式、(1-i・t)/(1+i・t)を作ることがポイント。
よって、

よって、
|z-(1/2)|=1/2
よって、zは、値(1/2)を中心にする、半径(1/2)の円上にある。
ただし、zは0では無いので、値0にはならない。
(証明おわり)

【一番簡単な方法】
 ここをクリックした先に、(it)単体をzの式であらわして、そのzの式に(it)単体の満たす条件をあてはめて計算する方法を示します。
 
リンク:
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2 件のコメント:

  1. http://d.hatena.ne.jp/nankai/20111105#c
    から     sansuu 様 ; 
    http://sansuu.noblog.net/blog/m/11244767.html
    に 漂着 し 以下のような 問を 考えました。

      容易ですが  数行に亘る丁寧な解説付きの [問題] に 遭遇しました; 
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/132384428297213211297.gif

    以下 「鶏を割くに焉いずくんぞ牛刀を用いんや」 と 揶揄 されても 為す価値が存在します。

    これは ●●● まさに 「双対曲線の出番」の 問なので 是非 紫枠 の C^*  を 求め
          その 特異点を 求める 方法で 解いて 下さい。

       その  C^* の 導出 は 多様な 発想で お願いします。

    (無論 有理写像    C-----Φ----->C^* も 明記願います)●●●
    ==========================================================================================

         但し 今回は (可約な -x^4 + 4*x^3 - 4*x^2 - 4*y*x + y^2 + 4*y=0)
    4 次曲線 なので 飯高先生の 
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/131560676679213226581.gif
             なる 発想は 通じません。
    (履修者は 今回の4  次曲線 の■「双対曲線 も」 求めずには イラレナイ でしょう■)
    http://www.youtube.com/watch?v=HyxoMl7rcc4

            双対曲線の 定義 は 明確です;
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/131582412733813213022.gif

    @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
    追伸  河村先生 は 代数曲線 の 双対曲線 にも 造詣が 深い 方 の ようなので
              先生の 
    http://d.hatena.ne.jp/nankai/archive?word=%2A%5B%C6%FC%B5%AD%5D
      コメント欄 に 疑問点を 投稿されれば 真摯に取り組まれ 解説を なさるでしょう。
    是非 投稿なさって ください !!!!!!!!!!。
    御二方の 対話を 讀めば 私の 刺激にもなりますので.

    今回 以外にも 双対曲線 曲面 ,.... に ついて 私は 数多な 考察をしております。


    -------------------------
    Link が 効かない ようなので
    こちらにも 投稿を 試みました。
    (設定次第なのでしょうか 仕様なのでしょうか)

    返信削除
    返信
    1. >Link が 効かない ようなので
      >こちらにも 投稿を 試みました。

      上のコメントがスパム扱いになっていたのでスパム解除しました。
      なぜスパム扱いになったか良くわからないのですが、
      恐らく、
      @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
      記号等で@を多く使ったのが
      スパム扱いになった原因かもしれません。

      削除