三角形の辺と角の等式を複素数平面で証明

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の以下の問題を複素数平面を利用して解きます。

【問３２】上の三角形ＡＢＣにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos（Ｂ）－b・cos（Ａ）)=a²－b²　　（１）

（証明開始）
　この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した以下の（式２）を考えます。
c(a・cos（Ｂ）－b・cos（Ａ）)－{a²－b²}=0　（２）

この左辺が０になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。

以下では、この問題を以下の複素数平面の図を利用して証明します。
以下の図のａ，ｂ，ｃは複素数とし、上式のａ，ｂ，ｃは|ａ|，|ｂ|，|ｃ|に書き直して計算します。

ベクトルａとｃの内積、及びベクトルｂとｃの内積が以下の式であらわされる。

であるので、
上の（式２）の左辺は、以下のようにあらわして計算できます。

（証明おわり）

（補足）以上の計算は、途中から、以下のように計算する方が無理が無く計算できます。


　この問題は複素数平面（又はベクトル）を利用しないで余弦定理を使って解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
　ベクトルの内積をあらわす複素数平面のＲｅ（）の計算式を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


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三角形の辺と角の等式の証明
三角形の辺と角の等式をベクトルで証明
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