不定方程式の難問

【難問】以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）この問題は、ペル方程式で解くこともできない。
とても難問です。

【解答】（途中までの速報）

すなわち、この式が成り立つには、ｎが５の倍数５ｐである必要がある。

１つの解は見つけた。

この問題は、海外のインターネットで議論されていて、
それ以外の解も求められている。
（ｘ，ｙ）＝（１５４１，－１８２２）
も解であり、
それ以外にも解がありますが、
解の個数は有限のようです。

そのインターネットのサイトには、
簡単な構造の漸化式により、
１つの解から、他の解が得られると書いてありました。
ただし、そのサイトの漸化式は間違っていましたので、
正しい漸化式を計算して記録に残すことにします。

とりあえず、１つの解を得た場合に他の解を求める漸化式を作ってみます。

 この式の解の漸化式を１つ作ります。
この式と整数解を求めるｘ，ｙとの関係を以下に整理しておきます。

作成する漸化式は、以下の式を満たす漸化式にします。

 １つの解ｕが得られた場合に他の解Ｕを与える漸化式を、行列Ｍを使った式１１で定義します。
式５’を扱い易くするために、その係数を以下の行列の要素ａで定義します。

 この式に、先の式１１を代入して、以下のようにして、行列Ｍの要素の満たす式を求める。

この式の左右の項の行列を計算する。

この式を満たす行列は以下の式で与えられる。ｃとｄは選択の自由度を与える未知数である。

この式を満足するｃとｄの整数解を１つ、以下の様に求め、それを使って、行列Ｍを定める。

 これで、１つの漸化式の行列Ｍが得られた。
この漸化式を使って、以下のように問題を解析し、この漸化式の有効性を調べる。
先に求めた解
（ｓ，ｔ）＝（１６，５）
に、この漸化式を適用する。

上のように、この漸化式を使って（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の解を順次に計算したが、その解の（ｕ_１，ｕ_２）の組に対する（ｘ，ｙ）が整数になる解が直ぐにはみつからなかった。

次に、以下の（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の組を求めて、この漸化式を適用して他の解を得て（ｘ，ｙ）の整数解を探した。

以上のように１つの整数解（ｘ，ｙ）の組（１５４１，－１８２２）がみつかった。

更に、以下の（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の組を求めて、この漸化式を適用して他の解を得て（ｘ，ｙ）の整数解を探した。

以上のように１つの整数解（ｘ，ｙ）の組（－４０１１９，－６４３１２）がみつかった。

　以上の計算の結果、この漸化式は、解を探すのにある程度役に立った。

先のサイトに書いてあった解を見ると、以上の探索により得た解は、小さな値の解を漏らさず探索できていた。
そのため、この漸化式は結構役にたっていることがわかった。

　以上でいくつかの解が得られた。
　次に、全ての解を網羅する漸化式があるのかどうか、以上の解を使って調べてみる。
（解答途中）

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