双対曲線を求める問題

【問】

上の式１があらわす曲線の双対曲線を求めよ。

（コメント）この問題は大学の数学科に入学した学生用の問題です。そのため、この問題は、医学部をめざす受験生も、無視してください。

【双対曲線とは】
　双対曲線とは、以下に説明する曲線です。
正式な定義は、以下の通りです。
（双対曲線の定義）

上記のように、射影空間における、（Ｚ，Ｘ，Ｙ）の（連比の）点の集合
Ｆ（Ｚ，Ｘ，Ｙ）＝０　　（２）
で曲線を定義する。
その曲線上の点毎に、関数Ｆの偏微分係数（の連比）

を求める。
その偏微分係数の連比であらわした、射影空間上の点の集合が双対曲線である。

この双対曲線は、以下の曲線であると言い換えることができる。

（双対曲線の定義の言い換え）
曲線１の点（ｘ，ｙ）に以下の直線８（接線）が接すると：

この接線の係数（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）は、
この接線８を、
Ｆ（Ｚ，Ｘ，Ｙ）＝Ｕ_０Ｚ＋Ｕ_１Ｘ＋Ｕ_２Ｙ＝０
という形であらわした時の、
関数Ｆの偏微分係数

に等しい。
その（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）ベクトルの要素の連比を、射影空間（無限遠直線を加えた空間）の点とする。
その点の集合を双対曲線と呼ぶ。
もっと具体的には、その点の集合をあらわす曲線の式：
Ｐ（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）＝０
を双対曲線の式と呼ぶ。

射影空間から無限遠直線を除外した空間を考えると、 
u_x＝Ｕ_１／Ｕ_０，
u_y＝Ｕ_２／Ｕ_０，
であらわした、ベクトル（u_x，u_y）の集合をあらわす
曲線
Ｐ（１，ｕ_ｘ，ｕ_ｙ） ≡ ｐ（ｕ_x，ｕ_y）＝０
が、無限遠直線を除外した空間における双対曲線です。
（無限遠直線を除外しても、なお、複素数座標で双対曲線を考える）

【解答１】
　式１のような２次曲線に限って通用する、以下の方法で双対曲線を計算することができる。

　先ず、式１を射影空間の座標であらわした式２に変換する。

 上の式３のように、式２を対称行列Ｔを使ってあらわす。
式３の行列Ｔの各要素は以下の通りである。

式３であらわした曲線に接する接線の係数Ｕは以下の式５で計算できる。

式５から式６が得られる。
この式６を式３に代入すると係数Ｕのベクトルがあらわす曲線（双対曲線）７が計算できる。

ここで使っている行列Ｔの逆行列は、以下のようにして計算できる。

こうして、双対曲線７’（又は７’’）が得られた。
（解答おわり）

【解答２】
　２次曲線にしか使えない方法はつまらないので、３次以上の曲線の双対曲線の計算にも使える以下の方法で双対曲線を計算する。

 この曲線１に点（ｘ，ｙ）で接する直線を、以下の式８であらわす。

 この式１に式８を代入してｙを消去する。

 式８が式１に接するので、式８を式１に代入して得た式９では、接点のｘ座標が重根になっているハズである。その重根をｇｘとすると、
（ｘ－ｇｘ） の２乗の式が式９の左辺にある。
その２乗の式を微分しても、なお、（ｘ－ｇｘ）が消えずに左辺に残る。
そのため、式９を微分した式１１も、（ｘ－ｇｘ）を左辺に持つのでその重根ｇｘを根の１つに持つ。

式９と式１１が共通する根ｇｘを持つので、
式９の係数と式１１の係数で作るシルベスターの行列式が０になる。
それを計算することで、ベクトルＵの要素の関係をあらわす式（双対曲線の式）が計算できる。

先ず、ｆをあらわすｘの多項式１２を計算し、それを微分してｆ’をあらわす多項式１３を計算する。

 この式１２と式１３の係数を使ったシルベスターの行列式を計算する。

 これで、求める双対曲線１６が計算できた。
（解答おわり）

【解答３】
解答２でシルベスターの行列式を使ったが、
その解答の本質は、与えられた曲線１に接する直線８の係数を求めることにあります。
その解答の本質を見るため、シルベスターの行列式の助けを借りずに、以下の様にしてこの問題を解きます。

 この曲線１に点（ｘ，ｙ）で接する直線を、以下の式８であらわす。

 この式１に式８を代入してｙを消去する。

 式８が式１に接するので、式８を式１に代入して得た式９では、接点のｘ座標が重根になっているハズである。その重根をｇｘとすると、
（ｘ－ｇｘ） の２乗の式が式９の左辺にある。
その２乗の式を微分しても、なお、（ｘ－ｇｘ）が消えずに左辺に残る。
そのため、式９を微分した式１１も、（ｘ－ｇｘ）を左辺に持つのでその重根ｇｘを根の１つに持つ。

式９と式１１が共通する根ｇｘを持つので、式９と式１１を、ユークリッドの互除法を用いて加減乗除することで、その共通する根ｇｘを解に持つ最大公約多項式（それはｘの一次式になるだろう）を計算する。

先ず、ｆをあらわすｘの多項式１２を計算し、それを微分してｆ’をあらわす多項式１３を計算する。

この式１２と式１３の最大公約多項式（ｘの１次式になるだろう）を、ユークリッドの互除法で、以下の様に計算する。

ここで得た式１７と、先に得ていた式１３とは、
ともに１次式であるが、 
共通する根ｇｘを持つ。
そのため、式１７と式１３は係数だけ違う同じ式である。
それゆえ、以下の式１８が成り立つ。

以上の計算のように、式１８を変形することで、再び式１６が得られた。
（解答おわり）

（コメント１）
　数学の専門家は、ミルナー数μ等を駆使して双対曲線を計算するらしい。しかし、それをどのようにして行なうかは、私は勉強不足のため、分からない。

（コメント２）
　式２の代数曲線
Ｆ＝０
のＦを各Ｘ_ｉ（ｉ＝０～３）で微分した値Ｕ_ｉが全て０になる点が「特異点」と呼ばれていて、注目すべき重要な点です。
すなわち、（Ｘ_０，Ｘ_１，Ｘ_２）が（０，０，０）以外の点で
０＝Ｕ_０＝Ｕ_１＝Ｕ_２　　　　（１７）
となる点が特異点で、それは、双対曲線の原点となっているので分かり易いです。
式５で、行列Ｔを使って値Ｕ_ｉが計算できます。
Ｕ_０＝－２Ｘ_０，
Ｕ_１＝２Ｘ_１，
Ｕ_２＝２Ｘ_２／９
ですので、
その値Ｕ_ｉが全て０になる点は、
０＝Ｘ_０＝Ｘ_１＝Ｘ_２　　　　（１８）
となる点です。これは（０，０，０）なので特異点ではありません。
特異点が有るか無いかを含め、特異点を詳しく調べることで代数曲線の特徴が分かるようです。

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