実数に関する問題

【問】
「任意の実数xに対して、

を成り立たせる整数 p,qが存在する」 
なる条件を満たす実数yをすべて求めよ。

【解答】
　実数ｘに関しては、以下の式２を満足する整数ｐとｑが存在する。

（ディリクレの原理）
更に、この式２の右辺をもっと小さくした以下の式３を満足するｐとｑが存在することも分かっている。

この式３は、参考文献：「無理数の話」ジュリアン・ハヴィル著：松浦俊輔訳（青土社）の２１７ページにある。

　この問の趣旨は、この文献を探し当てるまで実数論を勉強し、更にこの文献を発見したら、この文献を読了することではないかと考えます。それこそが、この問に対する真の解答だと考えます。

この式３を満足する限界を与える以下の式４を式１に代入する。

その結果、以下の式が得られる。

そのため、
任意の実数ｘに関して式１を満足する実数ｙは、
その実数ｘ毎に、 式３を満足する整数ｐ，ｑの組を求めた後に、そのうちの整数ｑによって以下の式６であらわされる式である。

　一方、ｙ＝０に固定して、あらゆる実数ｘについてｐとｑを選んで式１を満足させるということはできない。
　その理由は、整数ｐ、ｑを使ってｐ／ｑとあらわすことができるのは有理数だけであり、実数の中の無理数は、有理数では無く、無理数と有理数の差の二乗は０にはならないからである。
（解答おわり）

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