既約多項式が重根を持たない不思議

（２つの多項式の最大公約多項式を求める問題）

　次数の大きい方の多項式 ｆ を、次数の小さい方の多項式 ｇ で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 ｇ を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

　この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題１】（微分の応用）
　有理数係数では因数分解できない（既約）多項式 ｆ が式１であらわされている。この多項式は複素数係数の範囲では式２に因数分解でき、根α，β，γを持つ。
ここで、根α，β，γは必ず異なる、すなわち、既約多項式１は重根を持たないことを証明せよ。


【解答】
（仮定１）既約多項式 ｆ が式３であらわされ、重根αを持つと仮定する。

この式を微分する。

　ここで、ｆ’の式は、係数が有理数で、かつ、ｆの式１より次数が低い式５に計算される。

  この式５の（因数分解しない元の）ｆ’の式は、以下の式６になる。

この様に、式５のｆ’の式は、式６の様に、有理数係数を持つ式１のｘの累乗の項の係数に有理数を掛け算した有理数の係数を持つ式になる。
しかも、式５（又は式６）は、３次式である式１より次数が低い２次の式である。
また、式５は、式１と共通する根αを持つ。

　この有理数係数の２次のｆ’の式６と有理数係数の３次のｆの式１にユークリッドの互除法を適用すると、ｆ’の式６より１つ次数が低い１次の余りの式が計算される。
その１次の余りの式は有理数係数を持つ。

　その有理数係数の１次の余りの式は、この有理数係数の２次のｆ’の式と有理数係数の３次のｆの式１の共通因数の式（ｘ－α）の有理数倍の式になる。
そのため、（ｘ－α）は有理数係数の式になる。

（ｘ－α）が有理数係数の式なので、（ｘ－α）で有理数係数の３次のｆの式１を因数分解できることになってしまい、多項式ｆが既約多項式であることと矛盾する。

　そのため、仮定１は成り立たない。
　よって、有理数係数の範囲で因数分解できない既約多項式 ｆ は、複素数係数の範囲でも重根を持たない。

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