放物面鏡での光の反射

「微分・積分」の勉強

（２）微分：
　以下の問題を考えます。
【問題】 
　放物線鏡の中心面に垂直に入れた光（放物線の軸に平行な光）は反射してどこに行くか。

　この問題は、以下の様に解くことができます。

【解答】
先ず、放物線の軸に平行な光を点Ａ（Ｘ，Ｙ）に当てます（図ではＸ座標が１の場合を示す）。
光の反射方向を知るためにＡ点での鏡の傾きを近似的に計算します。

Ａ点で反射した光は反射してＹ軸上のＦ点に達すると考えます。
Ａ点近くの光と鏡面の関係を詳しくしらべます。

Ｘ座標の値がＸである点Ａでの放物線への接線がＸ軸と交わる点をＣとします。またＡ点からＸ軸に垂直に下ろした点をＢとします。
ここで、

なので、
三角形ＡＣＤの底辺ＣＤの長さは近似的に、

と計算できます。 

線分ＡＣに垂直な直線ＣＢを考え、その直線を延長してＹ軸と交わる点をＦとします。
∠ＡＣＢ＝∠Ｒ
です。
ＯＣ＝Ｘ－ＣＤ＝Ｘ／２
ですので、
ＯＣ＝ＣＤ=Ｘ／２
です。
そのため
ＦＣ＝ＢＣ
です。
二辺狭角が等しいので、
△ＡＦＣ≡△ＡＢＣ
です。
そのため
∠ＦＡＣ＝∠ＢＡＣ
です。
よって、
直線ＦＡは、
Ａ点で反射した光線の通る道です。
ＦＣ＝ＦＢ／２
です。
そのため、
ＯＦ＝ＥＦ／２
です。
そして：

が得られます。
結局、光線は、どのＸ座標から入っても、
すべての光が点（０，１／４）に集光することがわかりました。
（解答おわり）

　この問題を解く過程で用いた、近似的な傾きを、「微分」という究極の傾きの式で表すことができます。

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